1/(sqrt(x^2-1))+3>= 0
1) Résolvons dans ℝ : 1x2 -1 + 3 ≥ 0
ⓘ Pour additionner des fractions, on les met au même dénominateur puis on additionne les numérateurs : 1x2 -1 + 3 = 1 + 3·x2 -1x2 -1
1 + 3·x2 -1x2 -1 ≥ 0
On étudie le signe du numérateur
⇥1.1) Étudions le signe de 1 + 3·x2 -1 en résolvant dans ℝ : 1 + 3·x2 -1 ≥ 0
⇥On isole la racine : x2 -1 ≥ -13. Une racine carrée étant toujours positive ou nulle, x2 -1 est supérieure à -13 partout où elle est définie :
⇥La relation simplifiée est toujours vraie ; il reste à respecter le domaine de l'expression initiale
⇥Donc l'expression 1 + 3·x2 -1 est toujours positive ou nulle
On étudie le signe du dénominateur, qui ne doit pas s'annuler
⇥1.2) Étudions le signe de x2 -1 en résolvant dans ℝ : x2 -1 > 0
⇥x2 -1 > 0 équivaut à : x2 -1 > 0
⇥Une puissance paire ne dépend que de la valeur absolue : x2 > 1 équivaut à |x| > 1
⇥|A| > B veut dire que : A > B ou A < -B
2) Dressons le tableau de signes :
x-∞ -1 1 +∞
1 + 3·x2 -1+++
x2 -1+0-0+
1x2 -1 + 3+❌-❌+
Candidats, sous réserve du domaine : x ∈ ]-∞ ; -1[ ∪ ]1 ; +∞[
3) Cherchons le domaine de 1x2 -1 + 3 ≥ 0
Pour que l'expression 1x2 -1 + 3 ≥ 0 existe, on doit vérifier : x2 -1 > 0
Une puissance paire ne dépend que de la valeur absolue : x2 > 1 équivaut à |x| > 1
|A| > B équivaut à : A > B ou A < -B
▶Solution :   x ∈ ]-∞ ; -1[ ∪ ]1 ; +∞[