114-36k-6k^2>0 — solution étape par étape

1) Résolvons dans

ℝ

114 - 36 k - 6 k^{2} > 0

Comme

-6 < 0

, on divise les deux membres par

-6

en renversant le sens de l'inégalité :

- 19 + 6 k + k^{2} < 0

Vu la forme quadratique

a k^{2} + b k + c

, on calcule le discriminant :

Δ = b^{2} - 4 a c

. Ici

a = 1

b = 6

c = -19

Δ = 6^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (-19)

ⓘ Les puissances se calculent avant les multiplications, les additions et les soustractions. Une puissance entière est un produit répété :

6^{2}

6 \cdot 6

36

Δ = 36 - 4 \cdot (-19)

ⓘ Les multiplications se font avant les additions et les soustractions. Deux signes moins s'annulent, le produit de deux nombres négatifs est positif :

- 4 \cdot (-19)

4 \cdot 19

4 \cdot (10 + 9)

4 \cdot 10 + 4 \cdot 9

40 + 36

76

Δ = 36 + 76

ⓘ On part de

36

et on avance de

76

sur la droite des nombres :

36 + 76

112

Δ = 112

Puisque

Δ > 0

, l'équation admet deux racines :

La formule du second degré donne

k_{1}

\frac{- b - \sqrt{Δ}}{2 a}

\frac{- 6 - \sqrt{112}}{2 \cdot 1}

k_{1} = \frac{- 6 - \sqrt{112}}{2}

ⓘ On cherche le plus grand carré qui divise

112

16

4^{2}

, et on le sort de la racine :

\sqrt{112}

\sqrt{16 \cdot 7}

\sqrt{16} \cdot \sqrt{7}

4 \cdot \sqrt{7}

■On met le signe moins en facteur, en changeant le signe de chaque terme :

- 6 - 4 \cdot \sqrt{7}

- (6 + 4 \cdot \sqrt{7})

k_{1} = - \frac{6 + 4 \cdot \sqrt{7}}{2}

ⓘ On simplifie une fraction en divisant le numérateur et le dénominateur par un même nombre :

- \frac{6 + 4 \cdot \sqrt{7}}{2}

- \frac{2 \cdot (3 + 2 \cdot \sqrt{7})}{2}

- (3 + 2 \cdot \sqrt{7})

k_{1} = - (3 + 2 \cdot \sqrt{7})

ⓘ Un signe moins devant une parenthèse change le signe de chacun de ses termes :

- (3 + 2 \cdot \sqrt{7})

- 3 - 2 \cdot \sqrt{7}

k_{1} = - 3 - 2 \cdot \sqrt{7}

La formule du second degré donne

k_{2}

\frac{- b + \sqrt{Δ}}{2 a}

\frac{- 6 + \sqrt{112}}{2 \cdot 1}

k_{2} = \frac{- 6 + \sqrt{112}}{2}

ⓘ On cherche le plus grand carré qui divise

112

16

4^{2}

, et on le sort de la racine :

\sqrt{112}

\sqrt{16 \cdot 7}

\sqrt{16} \cdot \sqrt{7}

4 \cdot \sqrt{7}

k_{2} = \frac{- 6 + 4 \cdot \sqrt{7}}{2}

ⓘ On simplifie une fraction en divisant le numérateur et le dénominateur par un même nombre :

\frac{- 6 + 4 \cdot \sqrt{7}}{2}

\frac{2 \cdot (- 3 + 2 \cdot \sqrt{7})}{2}

- 3 + 2 \cdot \sqrt{7}

k_{2} = - 3 + 2 \cdot \sqrt{7}

Le trinôme est du signe opposé à a =

1

entre ses racines, donc il est bien négatif entre ses racines ; les racines, où il s'annule, sont exclues.

▶Solution trouvée :

k \in] - 2 \cdot \sqrt{7} - 3; 2 \cdot \sqrt{7} - 3 [

2) La valeur numérique de :

k \in] - 2 \cdot \sqrt{7} - 3; 2 \cdot \sqrt{7} - 3 [

est :

k \in] - 2 \cdot \approx 2,6458 - 3; 2 \cdot \approx 2,6458 - 3 [

k \in] - \approx 5,2915 - 3; \approx 5,2915 - 3 [

▷

k \in] \approx -8,2915; \approx 2,2915 [