12x^2+20x+3=0 — solution étape par étape

1) Résolvons dans

ℝ

12 x^{2} + 20 x + 3 = 0

Vu la forme quadratique

a x^{2} + b x + c

, on calcule le discriminant :

Δ = b^{2} - 4 a c

. Ici

a = 12

b = 20

c = 3

Δ = 20^{2} - 4 \cdot 12 \cdot 3

ⓘ Les puissances se calculent avant les multiplications, les additions et les soustractions. Une puissance entière est un produit répété :

20^{2}

20 \cdot 20

400

■Les multiplications se font avant les additions et les soustractions :

4 \cdot 12

4 \cdot (10 + 2)

4 \cdot 10 + 4 \cdot 2

40 + 8

48

Δ = 400 - 48 \cdot 3

ⓘ Les multiplications se font avant les additions et les soustractions :

48 \cdot 3

(40 + 8) \cdot 3

40 \cdot 3 + 8 \cdot 3

120 + 24

144

Δ = 400 - 144

ⓘ On part de

400

et on recule de

144

sur la droite des nombres :

400 - 144

256

Δ = 256

Puisque

Δ > 0

, l'équation admet deux racines :

La formule du second degré donne

x_{1}

\frac{- b - \sqrt{Δ}}{2 a}

\frac{- 20 - \sqrt{256}}{2 \cdot 12}

x_{1} = \frac{- 20 - \sqrt{256}}{2 \cdot 12}

ⓘ La racine carrée d'un nombre est le nombre positif dont le carré vaut ce nombre :

\sqrt{256}

16

;

16^{2}

256

ⅰ

2 \cdot 12

2 \cdot (10 + 2)

2 \cdot 10 + 2 \cdot 2

20 + 4

24

x_{1} = \frac{- 20 - 16}{24}

ⓘ Le numérateur et le dénominateur se calculent avant la division :

- 20 - 16

-36

x_{1} = - \frac{36}{24}

La fraction :

\frac{36}{24}

se simplifie par le facteur commun :

12

en une nouvelle fraction :

\frac{3}{2}

x_{1} = - \frac{3}{2}

La formule du second degré donne

x_{2}

\frac{- b + \sqrt{Δ}}{2 a}

\frac{- 20 + \sqrt{256}}{2 \cdot 12}

x_{2} = \frac{- 20 + \sqrt{256}}{2 \cdot 12}

ⓘ La racine carrée d'un nombre est le nombre positif dont le carré vaut ce nombre :

\sqrt{256}

16

;

16^{2}

256

ⅰ

2 \cdot 12

2 \cdot (10 + 2)

2 \cdot 10 + 2 \cdot 2

20 + 4

24

x_{2} = \frac{- 20 + 16}{24}

ⓘ Le numérateur et le dénominateur se calculent avant la division :

- 20 + 16

-4

x_{2} = - \frac{4}{24}

ⓘ On simplifie la fraction en divisant le numérateur et le dénominateur par

4

, leur plus grand diviseur commun :

- \frac{4}{24}

- \frac{1 \cdot 4}{6 \cdot 4}

- \frac{1}{6}

x_{2} = - \frac{1}{6}

▶Solutions trouvées :

x = {- \frac{3}{2}; - \frac{1}{6}}

2) La valeur numérique de :

x = {- \frac{3}{2}; - \frac{1}{6}}

vaut :

▷

x = {-1,5; \approx -0,1667}