15x^2+2x-10=0 — solution étape par étape

1) Résolvons dans

ℝ

15 x^{2} + 2 x - 10 = 0

Étant donné la forme quadratique

a x^{2} + b x + c

, calculons le discriminant :

Δ = b^{2} - 4 a c

. Ici

a = 15

b = 2

c = -10

Δ = 2^{2} - 4 \cdot 15 \cdot (-10)

ⓘ Les puissances se calculent avant les multiplications, les additions et les soustractions. Une puissance entière est un produit répété :

2^{2}

2 \cdot 2

4

■Les multiplications se font avant les additions et les soustractions :

4 \cdot 15

4 \cdot (10 + 5)

4 \cdot 10 + 4 \cdot 5

40 + 20

60

■Deux signes moins s'annulent, le produit de deux nombres négatifs est positif :

- 60 \cdot (-10)

60 \cdot 10

Δ = 4 + 60 \cdot 10

ⓘ Les multiplications se font avant les additions et les soustractions :

60 \cdot 10

600

Δ = 4 + 600

ⓘ On part de

4

et on avance de

600

sur la droite des nombres :

4 + 600

604

Δ = 604

Comme

Δ > 0

, l'équation a deux racines :

La formule du second degré donne

x_{1}

\frac{- b - \sqrt{Δ}}{2 a}

\frac{- 2 - \sqrt{604}}{2 \cdot 15}

x_{1} = \frac{- 2 - \sqrt{604}}{2 \cdot 15}

ⓘ On cherche le plus grand carré qui divise

604

4

2^{2}

, et on le sort de la racine :

\sqrt{604}

\sqrt{4 \cdot 151}

\sqrt{4} \cdot \sqrt{151}

2 \cdot \sqrt{151}

■On met le signe moins en facteur, en changeant le signe de chaque terme :

- 2 - 2 \cdot \sqrt{151}

- (2 + 2 \cdot \sqrt{151})

ⅰ

2 \cdot 15

2 \cdot (10 + 5)

2 \cdot 10 + 2 \cdot 5

20 + 10

30

x_{1} = - \frac{2 + 2 \cdot \sqrt{151}}{30}

ⓘ On simplifie une fraction en divisant le numérateur et le dénominateur par un même nombre :

- \frac{2 + 2 \cdot \sqrt{151}}{30}

- \frac{1 + \sqrt{151}}{15}

x_{1} = - \frac{1 + \sqrt{151}}{15}

La formule du second degré donne

x_{2}

\frac{- b + \sqrt{Δ}}{2 a}

\frac{- 2 + \sqrt{604}}{2 \cdot 15}

x_{2} = \frac{- 2 + \sqrt{604}}{2 \cdot 15}

ⓘ On cherche le plus grand carré qui divise

604

4

2^{2}

, et on le sort de la racine :

\sqrt{604}

\sqrt{4 \cdot 151}

\sqrt{4} \cdot \sqrt{151}

2 \cdot \sqrt{151}

ⅰ

2 \cdot 15

2 \cdot (10 + 5)

2 \cdot 10 + 2 \cdot 5

20 + 10

30

x_{2} = \frac{- 2 + 2 \cdot \sqrt{151}}{30}

ⓘ On simplifie une fraction en divisant le numérateur et le dénominateur par un même nombre :

\frac{- 2 + 2 \cdot \sqrt{151}}{30}

\frac{- 1 + \sqrt{151}}{15}

x_{2} = \frac{- 1 + \sqrt{151}}{15}

▶Solutions trouvées :

x = {- \frac{1 + \sqrt{151}}{15}; \frac{\sqrt{151} - 1}{15}}

2) La valeur numérique de :

x = {- \frac{1 + \sqrt{151}}{15}; \frac{\sqrt{151} - 1}{15}}

vaut :

x = {\approx - \frac{1 + 12,2882}{15}; \approx \frac{12,2882 - 1}{15}}

x = {\approx - \frac{13,2882}{15}; \approx \frac{11,2882}{15}}

▷

x = {\approx -0,8859; \approx 0,7525}