2*5^x = 3^(2x) — solution étape par étape

1) Résolvons dans

ℝ

2 \cdot 5^{x} = 3^{2 x}

Une puissance de puissance multiplie les exposants : pour avoir le même exposant des deux côtés, on écrit

3^{2 x}

{(3^{2})}^{x}

9^{x}

2 \cdot 5^{x} = 9^{x}

ⓘ On divise les deux membres par

5^{x}

, strictement positif, le quotient de deux puissances de même exposant étant la puissance du quotient :

\frac{2 \cdot 5^{x}}{5^{x}} = \frac{9^{x}}{5^{x}}

, soit

2 = {(\frac{9}{5})}^{x}

{(\frac{9}{5})}^{x} = 2

On peut appliquer la fonction ln des deux côtés :

\ln ({(\frac{9}{5})}^{x}) = \ln (2)

ⓘ Sur le domaine réel de l'expression initiale, la base est strictement positive : le logarithme de la puissance est l'exposant multiplié par le logarithme de la base :

\ln ({(\frac{9}{5})}^{x})

x \cdot \ln (\frac{9}{5})

x \cdot \ln (\frac{9}{5}) = \ln (2)

ⓘ On divise les deux membres par

\ln (\frac{9}{5})

▶Solution trouvée :

x = \frac{\ln (2)}{\ln (\frac{9}{5})}

2) La valeur numérique de :

x = \frac{\ln (2)}{\ln (\frac{9}{5})}

vaut :

x = \frac{\approx 0,6931}{\ln (1,8)}

x = \frac{\approx 0,6931}{\approx 0,5878}

▷

x = \approx 1,1792