2-(z-2)^2=z^2 — solution étape par étape

Résolvons dans

ℝ

2 - {(z - 2)}^{2} = z^{2}

2 - {(z - 2)}^{2} - z^{2} = 0

ⓘ Élever une somme à une puissance entière, c'est la multiplier par elle-même :

{(z - 2)}^{2}

(z - 2) \cdot (z - 2)

2 - (z - 2) \cdot (z - 2) - z^{2} = 0

ⓘ On développe en multipliant chaque terme de la parenthèse :

- (z - 2) \cdot (z - 2)

- (z \cdot z

+ z \cdot (-2)

- 2 z

- 2 \cdot (-2))

2 - (z \cdot z

+ z \cdot (-2)

- 2 z

- 2 \cdot (-2)) - z^{2} = 0

ⓘ Un signe moins devant une parenthèse change le signe de chacun de ses termes :

- (z \cdot z

+ z \cdot (-2)

- 2 z

- 2 \cdot (-2))

- z \cdot z

- z \cdot (-2)

+ 2 z

+ 2 \cdot (-2)

2

- z \cdot z

- z \cdot (-2)

+ 2 z

+ 2 \cdot (-2)

- z^{2} = 0

ⓘ Multiplier des puissances de même base revient à additionner les exposants :

z \cdot z

z^{2}

■Deux signes moins s'annulent :

- z \cdot (-2)

2 z

■Les multiplications se font avant les additions et les soustractions. Un seul signe moins ne s'annule pas, le produit d'un nombre négatif par un nombre positif est négatif :

2 \cdot (-2)

-4

2

- z^{2}

+ 2 z

+ 2 z

- 4

- z^{2} = 0

ⓘ On part de

2

et on recule de

4

sur la droite des nombres, en passant sous zéro :

2 - 4

-2

■On regroupe les termes semblables en additionnant leurs coefficients :

2 z + 2 z

4 z

- z^{2} - z^{2}

-2 z^{2}

- 2 - 2 z^{2} + 4 z = 0

Comme

-2 \neq 0

, on divise les deux membres par

-2

1 + z^{2} - 2 z = 0

Vu la forme quadratique

a z^{2} + b z + c

, on calcule le discriminant :

Δ = b^{2} - 4 a c

. Ici

a = 1

b = -2

c = 1

Δ = {(-2)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 1

ⓘ Les puissances se calculent avant les multiplications, les additions et les soustractions. Une puissance entière est un produit répété :

{(-2)}^{2}

(-2) \cdot (-2)

4

Δ = 4 - 4

ⓘ On part de

4

et on recule de

4

sur la droite des nombres, jusqu'à zéro :

4 - 4

0

Δ = 0

Puisque

Δ = 0

, l'équation admet une racine :

La formule du second degré donne

z_{0}

- \frac{b}{2 a}

\frac{- (-2)}{2 \cdot 1}

z_{0} = \frac{2}{2}

ⓘ On simplifie la fraction en divisant le numérateur et le dénominateur par

2

, leur plus grand diviseur commun :

\frac{2}{2}

1

z_{0} = 1

▶Solution trouvée :

z = 1