2/3 |x+5|-5/3 =-1 — solution étape par étape

1) Résolvons dans

ℝ

\frac{2}{3 \cdot | x + 5 |} - \frac{5}{3} = -1

On multiplie les deux membres par

3 \cdot | x + 5 |

, non nul pour que les fractions soient définies

\frac{2}{3 \cdot | x + 5 |} \cdot 3 \cdot | x + 5 | - \frac{5}{3} \cdot 3 \cdot | x + 5 | = -1 \cdot 3 \cdot | x + 5 |

ⓘ Multiplier une fraction par un terme revient à multiplier son numérateur :

\frac{2}{3 \cdot | x + 5 |} \cdot 3 \cdot | x + 5 |

\frac{2 \cdot 3 \cdot | x + 5 |}{3 \cdot | x + 5 |}

\frac{6 \cdot | x + 5 |}{3 \cdot | x + 5 |}

■Les multiplications se font avant les additions et les soustractions :

\frac{5}{3} \cdot 3

5

■Un seul signe moins ne s'annule pas, le produit d'un nombre négatif par un nombre positif est négatif :

-1 \cdot 3 \cdot | x + 5 |

-3 \cdot | x + 5 |

\frac{6 \cdot | x + 5 |}{3 \cdot | x + 5 |} - 5 \cdot | x + 5 | = -3 \cdot | x + 5 |

ⓘ Le dénominateur initial doit rester non nul. On simplifie la fraction en divisant le numérateur et le dénominateur par leur facteur commun :

\frac{6 \cdot | x + 5 |}{3 \cdot | x + 5 |}

\frac{6 \cdot | 1 |}{3 \cdot | 1 |}

\frac{6 \cdot | 1 |}{3 \cdot | 1 |} - 5 \cdot | x + 5 | = - 3 \cdot | x + 5 |

ⓘ On simplifie une fraction en divisant le numérateur et le dénominateur par un même nombre :

\frac{6 \cdot | 1 |}{3 \cdot | 1 |}

\frac{2 \cdot | 1 |}{| 1 |}

\frac{2 \cdot | 1 |}{| 1 |} - 5 \cdot | x + 5 | = - 3 \cdot | x + 5 |

\frac{2 \cdot 1}{1} - 5 \cdot | x + 5 | = - 3 \cdot | x + 5 |

2 - 5 \cdot | x + 5 | = - 3 \cdot | x + 5 |

Les arguments des valeurs absolues s'annulent en

-5

. On découpe ℝ à ces points et on résout dans chaque intervalle

Sur

] -∞; -5]

x + 5 \leq 0

, donc

| x + 5 | = - (x + 5)

;

x + 5 \leq 0

, donc

| x + 5 | = - (x + 5)

Sur

] -∞; -5]

, l'équation devient

2 - 5 \cdot (- (x + 5)) = - 3 \cdot (- (x + 5))

2) Résolvons dans

ℝ

2 - 5 \cdot (- (x + 5)) = - 3 \cdot (- (x + 5))

ⓘ On extrait les signes moins : un nombre pair de signes moins s'annule, un nombre impair laisse un signe moins :

- 5 \cdot (- (x + 5))

5 \cdot (x + 5)

- 3 \cdot (- (x + 5))

3 \cdot (x + 5)

2 + 5 \cdot (x + 5) = 3 \cdot (x + 5)

ⓘ On développe en multipliant chaque terme de la parenthèse :

5 \cdot (x + 5)

5 x + 25

3 \cdot (x + 5)

3 x + 15

2 + 5 x + 25 = 3 x + 15

ⓘ On part de

2

et on avance de

25

sur la droite des nombres :

2 + 25

27

27 + 5 x = 3 x + 15

ⓘ On soustrait

27

aux deux membres■On part de

15

et on recule de

27

sur la droite des nombres, en passant sous zéro :

15 - 27

-12

5 x = 3 x - 12

ⓘ On soustrait

3 x

aux deux membres

5 x - 3 x = -12

ⓘ On regroupe les termes semblables en additionnant leurs coefficients :

5 x - 3 x

2 x

2 x = -12

ⓘ On divise les deux membres par

2

x = - \frac{12}{2}

ⓘ On simplifie la fraction en divisant le numérateur et le dénominateur par

2

, leur plus grand diviseur commun :

- \frac{12}{2}

-6

Candidats, sous réserve du domaine :

x = -6

Comme

-6 \leq -5

, on peut garder la solution

-6

Sur

[-5; +∞ [

x + 5 \geq 0

, donc

| x + 5 | = x + 5

;

x + 5 \geq 0

, donc

| x + 5 | = x + 5

Sur

[-5; +∞ [

, l'équation devient

2 - 5 \cdot (x + 5) = - 3 \cdot (x + 5)

3) Résolvons dans

ℝ

2 - 5 \cdot (x + 5) = - 3 \cdot (x + 5)

ⓘ On développe en multipliant chaque terme de la parenthèse :

- 5 \cdot (x + 5)

- (5 x + 25)

- 3 \cdot (x + 5)

- (3 x + 15)

2 - (5 x + 25) = - (3 x + 15)

ⓘ Un signe moins devant une parenthèse change le signe de chacun de ses termes :

- (5 x + 25)

- 5 x - 25

- (3 x + 15)

- 3 x - 15

2 - 5 x - 25 = - 3 x - 15

ⓘ On part de

2

et on recule de

25

sur la droite des nombres, en passant sous zéro :

2 - 25

-23

- 23 - 5 x = - 3 x - 15

ⓘ On regroupe les termes en

x

à droite et les autres à gauche

- 23 + 15 = - 3 x + 5 x

ⓘ On part de

-23

et on avance de

15

sur la droite des nombres, en se rapprochant de zéro :

- 23 + 15

-8

■On regroupe les termes semblables en additionnant leurs coefficients :

- 3 x + 5 x

2 x

-8 = 2 x

ⓘ On divise les deux membres par

2

x = - \frac{8}{2}

ⓘ On simplifie la fraction en divisant le numérateur et le dénominateur par

2

, leur plus grand diviseur commun :

- \frac{8}{2}

-4

Candidats, sous réserve du domaine :

x = -4

Comme

-4 \geq -5

, on peut garder la solution

-4

Candidats, sous réserve du domaine :

x = {-6; -4}

4) Cherchons le domaine de

\frac{2}{3 \cdot | x + 5 |} - \frac{5}{3} = -1

Pour que l'expression

\frac{2}{3 \cdot | x + 5 |}

existe, on doit vérifier :

3 \cdot | x + 5 | \neq 0

On simplifie l'expression par

3

Résolvons dans

ℝ

| x + 5 | \neq 0

Résolvons dans

ℝ

x + 5 \neq 0

ⓘ On soustrait

5

aux deux membres

Contraintes liées au domaine :

x \neq -5

▶Solution :

x = {-6; -4}