2^2+5x<-x^2+1 — solution étape par étape

1) Résolvons dans

ℝ

2^{2} + 5 x < - x^{2} + 1

ⓘ Les puissances se calculent avant les multiplications, les additions et les soustractions. Une puissance entière est un produit répété :

2^{2}

2 \cdot 2

4

4 + 5 x < - x^{2} + 1

4

+ 5 x

+ x^{2}

- 1 < 0

ⓘ On part de

4

et on recule de

1

sur la droite des nombres :

4 - 1

3

3 + 5 x + x^{2} < 0

Vu la forme quadratique

a x^{2} + b x + c

, on calcule le discriminant :

Δ = b^{2} - 4 a c

. Ici

a = 1

b = 5

c = 3

Δ = 5^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 3

ⓘ Les puissances se calculent avant les multiplications, les additions et les soustractions. Une puissance entière est un produit répété :

5^{2}

5 \cdot 5

25

Δ = 25 - 4 \cdot 3

ⓘ Les multiplications se font avant les additions et les soustractions :

4 \cdot 3

12

Δ = 25 - 12

ⓘ On part de

25

et on recule de

12

sur la droite des nombres :

25 - 12

13

Δ = 13

Puisque

Δ > 0

, l'équation admet deux racines :

La formule du second degré donne

x_{1}

\frac{- b - \sqrt{Δ}}{2 a}

\frac{- 5 - \sqrt{13}}{2 \cdot 1}

x_{1} = \frac{- 5 - \sqrt{13}}{2}

ⓘ On met le signe moins en facteur, en changeant le signe de chaque terme :

- 5 - \sqrt{13}

- (5 + \sqrt{13})

x_{1} = - \frac{5 + \sqrt{13}}{2}

La formule du second degré donne

x_{2}

\frac{- b + \sqrt{Δ}}{2 a}

\frac{- 5 + \sqrt{13}}{2 \cdot 1}

x_{2} = \frac{- 5 + \sqrt{13}}{2}

Le trinôme est du signe opposé à a =

1

entre ses racines, donc il est bien négatif entre ses racines ; les racines, où il s'annule, sont exclues.

▶Solution obtenue :

x \in] - \frac{5 + \sqrt{13}}{2}; \frac{\sqrt{13} - 5}{2} [

2) La valeur numérique de :

x \in] - \frac{5 + \sqrt{13}}{2}; \frac{\sqrt{13} - 5}{2} [

vaut :

x \in] - \frac{5 + \approx 3,6056}{2}; \frac{\approx 3,6056 - 5}{2} [

x \in] - \frac{\approx 8,6056}{2}; - \frac{\approx 1,3944}{2} [

▷

x \in] \approx -4,3028; \approx -0,6972 [