25x^2-95x-20=0 — solution étape par étape

1) Résolvons dans

ℝ

25 x^{2} - 95 x - 20 = 0

Comme

5 \neq 0

, on divise les deux membres par

5

5 x^{2} - 19 x - 4 = 0

Vu la forme quadratique

a x^{2} + b x + c

, on calcule le discriminant :

Δ = b^{2} - 4 a c

. Ici

a = 5

b = -19

c = -4

Δ = {(-19)}^{2} - 4 \cdot 5 \cdot (-4)

ⓘ Les puissances se calculent avant les multiplications, les additions et les soustractions. Une puissance entière est un produit répété :

{(-19)}^{2}

(-19) \cdot (-19)

361

■Les multiplications se font avant les additions et les soustractions :

4 \cdot 5

20

■Deux signes moins s'annulent, le produit de deux nombres négatifs est positif :

- 20 \cdot (-4)

20 \cdot 4

Δ = 361 + 20 \cdot 4

ⓘ Les multiplications se font avant les additions et les soustractions :

20 \cdot 4

80

Δ = 361 + 80

ⓘ On part de

361

et on avance de

80

sur la droite des nombres :

361 + 80

441

Δ = 441

Puisque

Δ > 0

, l'équation admet deux racines :

La formule du second degré donne

x_{1}

\frac{- b - \sqrt{Δ}}{2 a}

\frac{- (-19) - \sqrt{441}}{2 \cdot 5}

x_{1} = \frac{19 - \sqrt{441}}{2 \cdot 5}

ⓘ La racine carrée d'un nombre est le nombre positif dont le carré vaut ce nombre :

\sqrt{441}

21

;

21^{2}

441

ⅰ

2 \cdot 5

10

x_{1} = \frac{19 - 21}{10}

ⓘ Le numérateur et le dénominateur se calculent avant la division :

19 - 21

-2

x_{1} = - \frac{2}{10}

ⓘ On simplifie la fraction en divisant le numérateur et le dénominateur par

2

, leur plus grand diviseur commun :

- \frac{2}{10}

- \frac{1 \cdot 2}{5 \cdot 2}

- \frac{1}{5}

x_{1} = - \frac{1}{5}

La formule du second degré donne

x_{2}

\frac{- b + \sqrt{Δ}}{2 a}

\frac{- (-19) + \sqrt{441}}{2 \cdot 5}

x_{2} = \frac{19 + \sqrt{441}}{2 \cdot 5}

ⓘ La racine carrée d'un nombre est le nombre positif dont le carré vaut ce nombre :

\sqrt{441}

21

;

21^{2}

441

ⅰ

2 \cdot 5

10

x_{2} = \frac{19 + 21}{10}

ⓘ Le numérateur et le dénominateur se calculent avant la division :

19 + 21

40

x_{2} = \frac{40}{10}

ⓘ On simplifie la fraction en divisant le numérateur et le dénominateur par

10

, leur plus grand diviseur commun :

\frac{40}{10}

4

x_{2} = 4

▶Solutions trouvées :

x = {- \frac{1}{5}; 4}

2) La valeur numérique de :

x = {- \frac{1}{5}; 4}

vaut :

▷

x = {-0,2; 4}