2v^2+v-5=(v+1)^2 — solution étape par étape

Résolvons dans

ℝ

2 v^{2} + v - 5 = {(v + 1)}^{2}

2 v^{2}

+ v

- 5

- {(v + 1)}^{2} = 0

ⓘ Élever une somme à une puissance entière, c'est la multiplier par elle-même :

{(v + 1)}^{2}

(v + 1) \cdot (v + 1)

2 v^{2}

+ v

- 5

- (v + 1) \cdot (v + 1) = 0

ⓘ On développe en multipliant chaque terme de la parenthèse :

- (v + 1) \cdot (v + 1)

- (v \cdot v

+ v \cdot 1

+ 1 \cdot v

+ 1 \cdot 1)

2 v^{2}

+ v

- 5

- (v \cdot v

+ v \cdot 1

+ 1 \cdot v

+ 1 \cdot 1) = 0

ⓘ Un signe moins devant une parenthèse change le signe de chacun de ses termes :

- (v \cdot v

+ v \cdot 1

+ 1 \cdot v

+ 1 \cdot 1)

- v \cdot v

- v \cdot 1

- 1 \cdot v

- 1 \cdot 1

2 v^{2}

+ v

- 5

- v \cdot v

- v \cdot 1

- 1 \cdot v

- 1 \cdot 1 = 0

ⓘ Multiplier des puissances de même base revient à additionner les exposants :

v \cdot v

v^{2}

■Multiplier par 1 ne change rien :

1 \cdot v

v

2 v^{2}

+ v

- 5

- v^{2}

- v

- v

- 1 = 0

ⓘ On part de

-5

et on recule encore de

1

sur la droite des nombres, en s'éloignant de zéro :

- 5 - 1

-6

■On regroupe les termes semblables en additionnant leurs coefficients :

2 v^{2} - v^{2}

v^{2}

v

- 6

- v

- v

- v - 6

v^{2} - v - 6 = 0

Vu la forme quadratique

a v^{2} + b v + c

, on calcule le discriminant :

Δ = b^{2} - 4 a c

. Ici

a = 1

b = -1

c = -6

Δ = {(-1)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (-6)

ⓘ Les puissances se calculent avant les multiplications, les additions et les soustractions. Une puissance entière est un produit répété :

{(-1)}^{2}

(-1) \cdot (-1)

1

Δ = 1 - 4 \cdot (-6)

ⓘ Les multiplications se font avant les additions et les soustractions. Deux signes moins s'annulent, le produit de deux nombres négatifs est positif :

- 4 \cdot (-6)

24

Δ = 1 + 24

ⓘ On part de

1

et on avance de

24

sur la droite des nombres :

1 + 24

25

Δ = 25

Puisque

Δ > 0

, l'équation admet deux racines :

La formule du second degré donne

v_{1}

\frac{- b - \sqrt{Δ}}{2 a}

\frac{- (-1) - \sqrt{25}}{2 \cdot 1}

v_{1} = \frac{1 - \sqrt{25}}{2}

ⓘ La racine carrée d'un nombre est le nombre positif dont le carré vaut ce nombre :

\sqrt{25}

5

;

5^{2}

25

v_{1} = \frac{1 - 5}{2}

ⓘ Le numérateur et le dénominateur se calculent avant la division :

1 - 5

-4

v_{1} = - \frac{4}{2}

ⓘ On simplifie la fraction en divisant le numérateur et le dénominateur par

2

, leur plus grand diviseur commun :

- \frac{4}{2}

-2

v_{1} = -2

La formule du second degré donne

v_{2}

\frac{- b + \sqrt{Δ}}{2 a}

\frac{- (-1) + \sqrt{25}}{2 \cdot 1}

v_{2} = \frac{1 + \sqrt{25}}{2}

ⓘ La racine carrée d'un nombre est le nombre positif dont le carré vaut ce nombre :

\sqrt{25}

5

;

5^{2}

25

v_{2} = \frac{1 + 5}{2}

ⓘ Le numérateur et le dénominateur se calculent avant la division :

1 + 5

6

v_{2} = \frac{6}{2}

ⓘ On simplifie la fraction en divisant le numérateur et le dénominateur par

2

, leur plus grand diviseur commun :

\frac{6}{2}

3

v_{2} = 3

▶Solutions trouvées :

v = {-2; 3}