2x^2-12x+11=0 — solution étape par étape

1) Résolvons dans

ℝ

2 x^{2} - 12 x + 11 = 0

Étant donné la forme quadratique

a x^{2} + b x + c

, calculons le discriminant :

Δ = b^{2} - 4 a c

. Ici

a = 2

b = -12

c = 11

Δ = {(-12)}^{2} - 4 \cdot 2 \cdot 11

ⓘ Les puissances se calculent avant les multiplications, les additions et les soustractions. Une puissance entière est un produit répété :

{(-12)}^{2}

(-12) \cdot (-12)

144

■Les multiplications se font avant les additions et les soustractions :

4 \cdot 2

8

Δ = 144 - 8 \cdot 11

ⓘ Les multiplications se font avant les additions et les soustractions :

8 \cdot 11

8 \cdot (10 + 1)

8 \cdot 10 + 8

80 + 8

88

Δ = 144 - 88

ⓘ On part de

144

et on recule de

88

sur la droite des nombres :

144 - 88

56

Δ = 56

Comme

Δ > 0

, l'équation a deux racines :

La formule du second degré donne

x_{1}

\frac{- b - \sqrt{Δ}}{2 a}

\frac{- (-12) - \sqrt{56}}{2 \cdot 2}

x_{1} = \frac{12 - \sqrt{56}}{2 \cdot 2}

ⓘ On cherche le plus grand carré qui divise

56

4

2^{2}

, et on le sort de la racine :

\sqrt{56}

\sqrt{4 \cdot 14}

\sqrt{4} \cdot \sqrt{14}

2 \cdot \sqrt{14}

ⅰ

2 \cdot 2

4

x_{1} = \frac{12 - 2 \cdot \sqrt{14}}{4}

ⓘ On simplifie une fraction en divisant le numérateur et le dénominateur par un même nombre :

\frac{12 - 2 \cdot \sqrt{14}}{4}

\frac{6 - \sqrt{14}}{2}

x_{1} = \frac{6 - \sqrt{14}}{2}

La formule du second degré donne

x_{2}

\frac{- b + \sqrt{Δ}}{2 a}

\frac{- (-12) + \sqrt{56}}{2 \cdot 2}

x_{2} = \frac{12 + \sqrt{56}}{2 \cdot 2}

ⓘ On cherche le plus grand carré qui divise

56

4

2^{2}

, et on le sort de la racine :

\sqrt{56}

\sqrt{4 \cdot 14}

\sqrt{4} \cdot \sqrt{14}

2 \cdot \sqrt{14}

ⅰ

2 \cdot 2

4

x_{2} = \frac{12 + 2 \cdot \sqrt{14}}{4}

ⓘ On simplifie une fraction en divisant le numérateur et le dénominateur par un même nombre :

\frac{12 + 2 \cdot \sqrt{14}}{4}

\frac{6 + \sqrt{14}}{2}

x_{2} = \frac{6 + \sqrt{14}}{2}

▶Solutions trouvées :

x = {\frac{6 - \sqrt{14}}{2}; \frac{6 + \sqrt{14}}{2}}

2) La valeur numérique de :

x = {\frac{6 - \sqrt{14}}{2}; \frac{6 + \sqrt{14}}{2}}

vaut :

x = {\approx \frac{6 - 3,7417}{2}; \approx \frac{6 + 3,7417}{2}}

x = {\approx \frac{2,2583}{2}; \approx \frac{9,7417}{2}}

▷

x = {\approx 1,1292; \approx 4,8708}