2x^2-4x=1 — solution étape par étape

1) Résolvons dans

ℝ

2 x^{2} - 4 x = 1

2 x^{2} - 4 x - 1 = 0

Vu la forme quadratique

a x^{2} + b x + c

, on calcule le discriminant :

Δ = b^{2} - 4 a c

. Ici

a = 2

b = -4

c = -1

Δ = {(-4)}^{2} - 4 \cdot 2 \cdot (-1)

ⓘ Les puissances se calculent avant les multiplications, les additions et les soustractions. Une puissance entière est un produit répété :

{(-4)}^{2}

(-4) \cdot (-4)

16

■Les multiplications se font avant les additions et les soustractions :

4 \cdot 2

8

■Multiplier par -1 donne l'opposé :

- 8 \cdot (-1)

8

Δ = 16 + 8

ⓘ On part de

16

et on avance de

8

sur la droite des nombres :

16 + 8

24

Δ = 24

Comme

Δ > 0

, l'équation a deux racines :

La formule du second degré donne

x_{1}

\frac{- b - \sqrt{Δ}}{2 a}

\frac{- (-4) - \sqrt{24}}{2 \cdot 2}

x_{1} = \frac{4 - \sqrt{24}}{2 \cdot 2}

ⓘ On cherche le plus grand carré qui divise

24

4

2^{2}

, et on le sort de la racine :

\sqrt{24}

\sqrt{4 \cdot 6}

\sqrt{4} \cdot \sqrt{6}

2 \cdot \sqrt{6}

ⅰ

2 \cdot 2

4

x_{1} = \frac{4 - 2 \cdot \sqrt{6}}{4}

ⓘ On simplifie une fraction en divisant le numérateur et le dénominateur par un même nombre :

\frac{4 - 2 \cdot \sqrt{6}}{4}

\frac{2 - \sqrt{6}}{2}

x_{1} = \frac{2 - \sqrt{6}}{2}

La formule du second degré donne

x_{2}

\frac{- b + \sqrt{Δ}}{2 a}

\frac{- (-4) + \sqrt{24}}{2 \cdot 2}

x_{2} = \frac{4 + \sqrt{24}}{2 \cdot 2}

ⓘ On cherche le plus grand carré qui divise

24

4

2^{2}

, et on le sort de la racine :

\sqrt{24}

\sqrt{4 \cdot 6}

\sqrt{4} \cdot \sqrt{6}

2 \cdot \sqrt{6}

ⅰ

2 \cdot 2

4

x_{2} = \frac{4 + 2 \cdot \sqrt{6}}{4}

ⓘ On simplifie une fraction en divisant le numérateur et le dénominateur par un même nombre :

\frac{4 + 2 \cdot \sqrt{6}}{4}

\frac{2 + \sqrt{6}}{2}

x_{2} = \frac{2 + \sqrt{6}}{2}

▶Solutions trouvées :

x = {\frac{2 - \sqrt{6}}{2}; \frac{2 + \sqrt{6}}{2}}

2) La valeur numérique de :

x = {\frac{2 - \sqrt{6}}{2}; \frac{2 + \sqrt{6}}{2}}

vaut :

x = {\approx \frac{2 - 2,4495}{2}; \approx \frac{2 + 2,4495}{2}}

x = {\approx - \frac{0,4495}{2}; \approx \frac{4,4495}{2}}

▷

x = {\approx -0,2247; \approx 2,2247}