2x^2-x-3<0 — solution étape par étape

1) Résolvons dans

ℝ

2 x^{2} - x - 3 < 0

Vu la forme quadratique

a x^{2} + b x + c

, on calcule le discriminant :

Δ = b^{2} - 4 a c

. Ici

a = 2

b = -1

c = -3

Δ = {(-1)}^{2} - 4 \cdot 2 \cdot (-3)

ⓘ Les puissances se calculent avant les multiplications, les additions et les soustractions. Une puissance entière est un produit répété :

{(-1)}^{2}

(-1) \cdot (-1)

1

■Les multiplications se font avant les additions et les soustractions :

4 \cdot 2

8

■Deux signes moins s'annulent, le produit de deux nombres négatifs est positif :

- 8 \cdot (-3)

8 \cdot 3

Δ = 1 + 8 \cdot 3

ⓘ Les multiplications se font avant les additions et les soustractions :

8 \cdot 3

24

Δ = 1 + 24

ⓘ On part de

1

et on avance de

24

sur la droite des nombres :

1 + 24

25

Δ = 25

Comme

Δ > 0

, l'équation a deux racines :

La formule du second degré donne

x_{1}

\frac{- b - \sqrt{Δ}}{2 a}

\frac{- (-1) - \sqrt{25}}{2 \cdot 2}

x_{1} = \frac{1 - \sqrt{25}}{2 \cdot 2}

ⓘ La racine carrée d'un nombre est le nombre positif dont le carré vaut ce nombre :

\sqrt{25}

5

;

5^{2}

25

ⅰ

2 \cdot 2

4

x_{1} = \frac{1 - 5}{4}

ⓘ Le numérateur et le dénominateur se calculent avant la division :

1 - 5

-4

x_{1} = - \frac{4}{4}

ⓘ On simplifie la fraction en divisant le numérateur et le dénominateur par

4

, leur plus grand diviseur commun :

- \frac{4}{4}

-1

x_{1} = -1

La formule du second degré donne

x_{2}

\frac{- b + \sqrt{Δ}}{2 a}

\frac{- (-1) + \sqrt{25}}{2 \cdot 2}

x_{2} = \frac{1 + \sqrt{25}}{2 \cdot 2}

ⓘ La racine carrée d'un nombre est le nombre positif dont le carré vaut ce nombre :

\sqrt{25}

5

;

5^{2}

25

ⅰ

2 \cdot 2

4

x_{2} = \frac{1 + 5}{4}

ⓘ Le numérateur et le dénominateur se calculent avant la division :

1 + 5

6

x_{2} = \frac{6}{4}

ⓘ On simplifie la fraction en divisant le numérateur et le dénominateur par

2

, leur plus grand diviseur commun :

\frac{6}{4}

\frac{3 \cdot 2}{2 \cdot 2}

\frac{3}{2}

x_{2} = \frac{3}{2}

Le trinôme est du signe opposé à a =

2

entre ses racines, donc il est bien négatif entre ses racines ; les racines, où il s'annule, sont exclues.

▶Solution trouvée :

x \in] -1; \frac{3}{2} [

2) La valeur numérique de :

x \in] -1; \frac{3}{2} [

est :

▷

x \in] -1; 1,5 [