2x^2+17x+21<= 0 — solution étape par étape

1) Résolvons dans

ℝ

2 x^{2} + 17 x + 21 \leq 0

Étant donné la forme quadratique

a x^{2} + b x + c

, calculons le discriminant :

Δ = b^{2} - 4 a c

. Ici

a = 2

b = 17

c = 21

Δ = 17^{2} - 4 \cdot 2 \cdot 21

ⓘ Les puissances se calculent avant les multiplications, les additions et les soustractions. Une puissance entière est un produit répété :

17^{2}

17 \cdot 17

289

■Les multiplications se font avant les additions et les soustractions :

4 \cdot 2

8

Δ = 289 - 8 \cdot 21

ⓘ Les multiplications se font avant les additions et les soustractions :

8 \cdot 21

8 \cdot (20 + 1)

8 \cdot 20 + 8

160 + 8

168

Δ = 289 - 168

ⓘ On part de

289

et on recule de

168

sur la droite des nombres :

289 - 168

121

Δ = 121

Puisque

Δ > 0

, l'équation admet deux racines :

La formule du second degré donne

x_{1}

\frac{- b - \sqrt{Δ}}{2 a}

\frac{- 17 - \sqrt{121}}{2 \cdot 2}

x_{1} = \frac{- 17 - \sqrt{121}}{2 \cdot 2}

ⓘ La racine carrée d'un nombre est le nombre positif dont le carré vaut ce nombre :

\sqrt{121}

11

;

11^{2}

121

ⅰ

2 \cdot 2

4

x_{1} = \frac{- 17 - 11}{4}

ⓘ Le numérateur et le dénominateur se calculent avant la division :

- 17 - 11

-28

x_{1} = - \frac{28}{4}

ⓘ On simplifie la fraction en divisant le numérateur et le dénominateur par

4

, leur plus grand diviseur commun :

- \frac{28}{4}

-7

x_{1} = -7

La formule du second degré donne

x_{2}

\frac{- b + \sqrt{Δ}}{2 a}

\frac{- 17 + \sqrt{121}}{2 \cdot 2}

x_{2} = \frac{- 17 + \sqrt{121}}{2 \cdot 2}

ⓘ La racine carrée d'un nombre est le nombre positif dont le carré vaut ce nombre :

\sqrt{121}

11

;

11^{2}

121

ⅰ

2 \cdot 2

4

x_{2} = \frac{- 17 + 11}{4}

ⓘ Le numérateur et le dénominateur se calculent avant la division :

- 17 + 11

-6

x_{2} = - \frac{6}{4}

ⓘ On simplifie la fraction en divisant le numérateur et le dénominateur par

2

, leur plus grand diviseur commun :

- \frac{6}{4}

- \frac{3 \cdot 2}{2 \cdot 2}

- \frac{3}{2}

x_{2} = - \frac{3}{2}

Le trinôme est du signe opposé à a =

2

entre ses racines, donc il est bien négatif entre ses racines ; les racines, où il s'annule, sont incluses.

▶Solution trouvée :

x \in [-7; - \frac{3}{2}]

2) La valeur numérique de :

x \in [-7; - \frac{3}{2}]

vaut :

▷

x \in [-7; -1,5]