2x^2+3x-2>0 — solution étape par étape

1) Résolvons dans

ℝ

2 x^{2} + 3 x - 2 > 0

Étant donné la forme quadratique

a x^{2} + b x + c

, calculons le discriminant :

Δ = b^{2} - 4 a c

. Ici

a = 2

b = 3

c = -2

Δ = 3^{2} - 4 \cdot 2 \cdot (-2)

ⓘ Les puissances se calculent avant les multiplications, les additions et les soustractions. Une puissance entière est un produit répété :

3^{2}

3 \cdot 3

9

■Les multiplications se font avant les additions et les soustractions :

4 \cdot 2

8

■Deux signes moins s'annulent, le produit de deux nombres négatifs est positif :

- 8 \cdot (-2)

8 \cdot 2

Δ = 9 + 8 \cdot 2

ⓘ Les multiplications se font avant les additions et les soustractions :

8 \cdot 2

16

Δ = 9 + 16

ⓘ On part de

9

et on avance de

16

sur la droite des nombres :

9 + 16

25

Δ = 25

Puisque

Δ > 0

, l'équation admet deux racines :

La formule du second degré donne

x_{1}

\frac{- b - \sqrt{Δ}}{2 a}

\frac{- 3 - \sqrt{25}}{2 \cdot 2}

x_{1} = \frac{- 3 - \sqrt{25}}{2 \cdot 2}

ⓘ La racine carrée d'un nombre est le nombre positif dont le carré vaut ce nombre :

\sqrt{25}

5

;

5^{2}

25

ⅰ

2 \cdot 2

4

x_{1} = \frac{- 3 - 5}{4}

ⓘ Le numérateur et le dénominateur se calculent avant la division :

- 3 - 5

-8

x_{1} = - \frac{8}{4}

ⓘ On simplifie la fraction en divisant le numérateur et le dénominateur par

4

, leur plus grand diviseur commun :

- \frac{8}{4}

-2

x_{1} = -2

La formule du second degré donne

x_{2}

\frac{- b + \sqrt{Δ}}{2 a}

\frac{- 3 + \sqrt{25}}{2 \cdot 2}

x_{2} = \frac{- 3 + \sqrt{25}}{2 \cdot 2}

ⓘ La racine carrée d'un nombre est le nombre positif dont le carré vaut ce nombre :

\sqrt{25}

5

;

5^{2}

25

ⅰ

2 \cdot 2

4

x_{2} = \frac{- 3 + 5}{4}

ⓘ Le numérateur et le dénominateur se calculent avant la division :

- 3 + 5

2

x_{2} = \frac{2}{4}

ⓘ On simplifie la fraction en divisant le numérateur et le dénominateur par

2

, leur plus grand diviseur commun :

\frac{2}{4}

\frac{1 \cdot 2}{2 \cdot 2}

\frac{1}{2}

x_{2} = \frac{1}{2}

Le trinôme est du signe de a =

2

à l'extérieur de ses racines, donc il est bien positif à l'extérieur de ses racines ; les racines, où il s'annule, sont exclues.

▶Solution obtenue :

x \in] -∞; -2 [\cup] \frac{1}{2}; +∞ [

2) La valeur numérique de :

x \in] -∞; -2 [\cup] \frac{1}{2}; +∞ [

est :

▷

x \in] -∞; -2 [\cup] 0,5; +∞ [