3(x+4)^2+15(x+4)-18=0 — solution étape par étape

Résolvons dans

ℝ

3 \cdot {(x + 4)}^{2} + 15 \cdot (x + 4) - 18 = 0

ⓘ Élever une somme à une puissance entière, c'est la multiplier par elle-même :

{(x + 4)}^{2}

(x + 4) \cdot (x + 4)

■On développe en multipliant chaque terme de la parenthèse :

15 \cdot (x + 4)

15 x + 60

3 \cdot (x + 4) \cdot (x + 4)

+ 15 x

+ 60

- 18 = 0

ⓘ On part de

60

et on recule de

18

sur la droite des nombres :

60 - 18

42

3 \cdot (x + 4) \cdot (x + 4) + 15 x + 42 = 0

ⓘ On développe en multipliant chaque terme de la parenthèse :

3 \cdot (x + 4)

3 x + 12

(3 x + 12) \cdot (x + 4) + 15 x + 42 = 0

ⓘ On développe en multipliant chaque terme de la parenthèse :

(3 x + 12) \cdot (x + 4)

3 \cdot x \cdot x

+ 3 x \cdot 4

+ 12 x

+ 12 \cdot 4

3 \cdot x \cdot x

+ 3 x \cdot 4

+ 12 x

+ 12 \cdot 4

+ 15 x

+ 42 = 0

ⓘ Multiplier des puissances de même base revient à additionner les exposants :

x \cdot x

x^{2}

■Les multiplications se font avant les additions et les soustractions :

3 \cdot 4

12

12 \cdot 4

(10 + 2) \cdot 4

10 \cdot 4 + 2 \cdot 4

40 + 8

48

■On regroupe les termes semblables en additionnant leurs coefficients :

12 x + 15 x

27 x

3 x^{2}

+ 12 x

+ 27 x

+ 48

+ 42 = 0

ⓘ On regroupe les termes semblables en additionnant leurs coefficients :

12 x + 27 x

39 x

■On part de

48

et on avance de

42

sur la droite des nombres :

48 + 42

90

3 x^{2} + 39 x + 90 = 0

Comme

3 \neq 0

, on divise les deux membres par

3

x^{2} + 13 x + 30 = 0

Étant donné la forme quadratique

a x^{2} + b x + c

, calculons le discriminant :

Δ = b^{2} - 4 a c

. Ici

a = 1

b = 13

c = 30

Δ = 13^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 30

ⓘ Les puissances se calculent avant les multiplications, les additions et les soustractions. Une puissance entière est un produit répété :

13^{2}

13 \cdot 13

169

Δ = 169 - 4 \cdot 30

ⓘ Les multiplications se font avant les additions et les soustractions :

4 \cdot 30

120

Δ = 169 - 120

ⓘ On part de

169

et on recule de

120

sur la droite des nombres :

169 - 120

49

Δ = 49

Comme

Δ > 0

, l'équation a deux racines :

La formule du second degré donne

x_{1}

\frac{- b - \sqrt{Δ}}{2 a}

\frac{- 13 - \sqrt{49}}{2 \cdot 1}

x_{1} = \frac{- 13 - \sqrt{49}}{2}

ⓘ La racine carrée d'un nombre est le nombre positif dont le carré vaut ce nombre :

\sqrt{49}

7

;

7^{2}

49

x_{1} = \frac{- 13 - 7}{2}

ⓘ Le numérateur et le dénominateur se calculent avant la division :

- 13 - 7

-20

x_{1} = - \frac{20}{2}

ⓘ On simplifie la fraction en divisant le numérateur et le dénominateur par

2

, leur plus grand diviseur commun :

- \frac{20}{2}

-10

x_{1} = -10

La formule du second degré donne

x_{2}

\frac{- b + \sqrt{Δ}}{2 a}

\frac{- 13 + \sqrt{49}}{2 \cdot 1}

x_{2} = \frac{- 13 + \sqrt{49}}{2}

ⓘ La racine carrée d'un nombre est le nombre positif dont le carré vaut ce nombre :

\sqrt{49}

7

;

7^{2}

49

x_{2} = \frac{- 13 + 7}{2}

ⓘ Le numérateur et le dénominateur se calculent avant la division :

- 13 + 7

-6

x_{2} = - \frac{6}{2}

ⓘ On simplifie la fraction en divisant le numérateur et le dénominateur par

2

, leur plus grand diviseur commun :

- \frac{6}{2}

-3

x_{2} = -3

▶Solutions obtenues :

x = {-10; -3}