3/(|5-2x|)<2 — solution étape par étape

1) Résolvons dans

ℝ

\frac{3}{| 5 - 2 x |} < 2

2) Additionnons les fractions :

\frac{3}{| 5 - 2 x |} - 2 < 0

ⓘ Pour additionner des fractions, on les met au même dénominateur puis on additionne les numérateurs :

\frac{3}{| 5 - 2 x |} - 2

\frac{3 - 2 \cdot | 5 - 2 x |}{| 5 - 2 x |}

\frac{3 - 2 \cdot | 5 - 2 x |}{| 5 - 2 x |} < 0

On étudie le signe du numérateur

⇥2.1) Étudions le signe de

3 - 2 \cdot | 5 - 2 x |

en résolvant dans

ℝ

3 - 2 \cdot | 5 - 2 x | < 0

⇥On divise les deux membres par

-2

; ce nombre étant négatif, on inverse le sens de l'inégalité

⇥

| A | > B

veut dire que :

A > B

A < - B

⇥2.2) Résolvons dans

ℝ

5 - 2 x > \frac{3}{2}

⇥ⓘ On regroupe les termes en

x

à droite et les autres à gauche

⇥

5 - \frac{3}{2} > 2 x

⇥ⓘ Pour additionner des fractions, on les met au même dénominateur puis on additionne les numérateurs :

5 - \frac{3}{2}

\frac{2 \cdot 5 - 3}{2}

⇥

\frac{2 \cdot 5 - 3}{2} > 2 x

⇥ⓘ Les multiplications se font avant les additions et les soustractions :

2 \cdot 5

10

⇥

\frac{10 - 3}{2} > 2 x

⇥ⓘ Le numérateur et le dénominateur se calculent avant la division :

10 - 3

7

⇥

\frac{7}{2} > 2 x

⇥ⓘ On divise les deux membres par

2

⇥

x < \frac{\frac{7}{2}}{2}

⇥ⓘ Diviser une fraction par

2

revient à multiplier son dénominateur par

2

\frac{\frac{7}{2}}{2}

\frac{7}{2 \cdot 2}

⇥

x < \frac{7}{2 \cdot 2}

⇥ⅰ

2 \cdot 2

4

⇥Candidats, sous réserve du domaine :

x < \frac{7}{4}

⇥2.3) Résolvons dans

ℝ

5 - 2 x < - \frac{3}{2}

⇥ⓘ On regroupe les termes en

x

à droite et les autres à gauche

⇥

5 + \frac{3}{2} < 2 x

⇥ⓘ Pour additionner des fractions, on les met au même dénominateur puis on additionne les numérateurs :

5 + \frac{3}{2}

\frac{2 \cdot 5 + 3}{2}

⇥

\frac{2 \cdot 5 + 3}{2} < 2 x

⇥ⓘ Les multiplications se font avant les additions et les soustractions :

2 \cdot 5

10

⇥

\frac{10 + 3}{2} < 2 x

⇥ⓘ Le numérateur et le dénominateur se calculent avant la division :

10 + 3

13

⇥

\frac{13}{2} < 2 x

⇥ⓘ On divise les deux membres par

2

⇥

x > \frac{\frac{13}{2}}{2}

⇥ⓘ Diviser une fraction par

2

revient à multiplier son dénominateur par

2

\frac{\frac{13}{2}}{2}

\frac{13}{2 \cdot 2}

⇥

x > \frac{13}{2 \cdot 2}

⇥ⅰ

2 \cdot 2

4

⇥Candidats, sous réserve du domaine :

x > \frac{13}{4}

⇥Donc l'expression

3 - 2 \cdot | 5 - 2 x |

est négative sur

] \frac{13}{4}; +∞ [

et positive ou nulle sinon

On étudie le signe du dénominateur, qui ne doit pas s'annuler

⇥2.4) Étudions le signe de

| 5 - 2 x |

en résolvant dans

ℝ

| 5 - 2 x | < 0

⇥Solution :

x \in \emptyset

⇥Donc l'expression

| 5 - 2 x |

est toujours positive ou nulle

3) Dressons le tableau de signes :

x	$-∞$		$\frac{7}{4}$		$\frac{13}{4}$		$+∞$
$3 - 2 \cdot \| 5 - 2 x \|$		-	0	+	0	-
$\| 5 - 2 x \|$		+		+		+
$\frac{3}{\| 5 - 2 x \|} - 2$		-	0	+	0	-

Candidats, sous réserve du domaine :

x \in] -∞; \frac{7}{4} [\cup] \frac{13}{4}; +∞ [

4) Cherchons le domaine de

\frac{3}{| 5 - 2 x |} < 2

Pour que l'expression

\frac{3}{| 5 - 2 x |}

existe, on doit vérifier :

| 5 - 2 x | \neq 0

5) Résolvons dans

ℝ

5 - 2 x \neq 0

ⓘ On ajoute

2 x

aux deux membres

5 \neq 2 x

ⓘ On divise les deux membres par

2

Contraintes liées au domaine :

x \neq \frac{5}{2}

▶Solution :

x \in] -∞; \frac{7}{4} [\cup] \frac{13}{4}; +∞ [

6) La valeur numérique de :

x \in] -∞; \frac{7}{4} [\cup] \frac{13}{4}; +∞ [

est :

▷

x \in] -∞; 1,75 [\cup] 3,25; +∞ [