3/(x+2)> 3/(x-5) — solution étape par étape

1) Résolvons dans

ℝ

\frac{3}{x + 2} > \frac{3}{x - 5}

2) Additionnons les fractions :

\frac{3}{x + 2} - \frac{3}{x - 5} > 0

ⓘ Le signe moins de la fraction entre dans le numérateur ou le dénominateur, dont il change le signe de chaque terme :

- \frac{3}{x - 5}

\frac{3}{- x + 5}

■Pour additionner des fractions, on les met au même dénominateur puis on additionne les numérateurs :

\frac{3}{x + 2} + \frac{3}{- x + 5}

\frac{3 \cdot (- x + 5) + 3 \cdot (x + 2)}{(x + 2) \cdot (- x + 5)}

\frac{3 \cdot (- x + 5) + 3 \cdot (x + 2)}{(x + 2) \cdot (- x + 5)} > 0

On étudie le signe du numérateur

⇥2.1) Étudions le signe de

3 \cdot (- x + 5) + 3 \cdot (x + 2)

en résolvant dans

ℝ

3 \cdot (- x + 5) + 3 \cdot (x + 2) > 0

⇥ⓘ On développe en multipliant chaque terme de la parenthèse :

3 \cdot (- x + 5)

3 \cdot (- x) + 15

3 \cdot (x + 2)

3 x + 6

⇥

3 \cdot (- x)

+ 15

+ 3 x

+ 6 > 0

⇥ⓘ On place le signe moins devant le produit :

3 \cdot (- x)

- 3 x

■On part de

15

et on avance de

6

sur la droite des nombres :

15 + 6

21

⇥

- 3 x + 21 + 3 x > 0

⇥ⓘ On regroupe les termes semblables en additionnant leurs coefficients :

- 3 x + 3 x

0

⇥

0 + 21 > 0

⇥ⓘ Additionner 0 ne change rien :

0 + 21

21

⇥

21 > 0

⇥La relation simplifiée est toujours vraie ; il reste à respecter le domaine de l'expression initiale

⇥Donc l'expression

3 \cdot (- x + 5) + 3 \cdot (x + 2)

est toujours positive

On étudie le signe du dénominateur, qui ne doit pas s'annuler

⇥2.2) Résolvons dans

ℝ

(x + 2) \cdot (- x + 5) > 0

⇥On étudie le signe de chaque facteur du produit

⇥⇥L'expression

x + 2

s'annule en

x = -2

(valeur interdite), elle est négative avant et positive après

⇥⇥L'expression

- x + 5

s'annule en :

⇥⇥

x = 5

⇥⇥Son coefficient en

x

-1

, étant négatif, elle est positive avant et négative après

5

(valeur interdite)

3) Dressons le tableau de signes :

x	$-∞$		$-2$		$5$		$+∞$
$3 \cdot (- x + 5) + 3 \cdot (x + 2)$		+		+		+
$x + 2$		-	0	+		+
$- x + 5$		+		+	0	-
$\frac{3}{x + 2} - \frac{3}{x - 5}$		-	❌	+	❌	-

Candidats, sous réserve du domaine :

x \in] -2; 5 [

4) Cherchons le domaine de

\frac{3}{x + 2} > \frac{3}{x - 5}

Pour que l'expression

\frac{3}{x + 2}

soit définie, on doit avoir :

x + 2 \neq 0

Pour que l'expression

\frac{3}{x - 5}

soit définie, on doit avoir :

x - 5 \neq 0

5) Résolvons dans

ℝ

x + 2 \neq 0

ⓘ On soustrait

2

aux deux membres

Solution obtenue :

x \neq -2

6) Résolvons dans

ℝ

x - 5 \neq 0

ⓘ On ajoute

5

aux deux membres

Solution trouvée :

x \neq 5

Construisons le tableau des différents éléments pour déterminer la solution globale :

x	$-∞$		$-2$		$5$		$+∞$
$x + 2 \neq 0$		✅	❌	✅	✅	✅
$x - 5 \neq 0$		✅	✅	✅	❌	✅
Domaine de définition :		✅	❌	✅	❌	✅

Contraintes liées au domaine :

x \in ℝ \ {-2; 5}

▶Solution :

x \in] -2; 5 [