3x^2-2x-1=0 — solution étape par étape

1) Résolvons dans

ℝ

3 x^{2} - 2 x - 1 = 0

Vu la forme quadratique

a x^{2} + b x + c

, on calcule le discriminant :

Δ = b^{2} - 4 a c

. Ici

a = 3

b = -2

c = -1

Δ = {(-2)}^{2} - 4 \cdot 3 \cdot (-1)

ⓘ Les puissances se calculent avant les multiplications, les additions et les soustractions. Une puissance entière est un produit répété :

{(-2)}^{2}

(-2) \cdot (-2)

4

■Les multiplications se font avant les additions et les soustractions :

4 \cdot 3

12

■Multiplier par -1 donne l'opposé :

- 12 \cdot (-1)

12

Δ = 4 + 12

ⓘ On part de

4

et on avance de

12

sur la droite des nombres :

4 + 12

16

Δ = 16

Puisque

Δ > 0

, l'équation admet deux racines :

La formule du second degré donne

x_{1}

\frac{- b - \sqrt{Δ}}{2 a}

\frac{- (-2) - \sqrt{16}}{2 \cdot 3}

x_{1} = \frac{2 - \sqrt{16}}{2 \cdot 3}

ⓘ La racine carrée d'un nombre est le nombre positif dont le carré vaut ce nombre :

\sqrt{16}

4

;

4^{2}

16

ⅰ

2 \cdot 3

6

x_{1} = \frac{2 - 4}{6}

ⓘ Le numérateur et le dénominateur se calculent avant la division :

2 - 4

-2

x_{1} = - \frac{2}{6}

ⓘ On simplifie la fraction en divisant le numérateur et le dénominateur par

2

, leur plus grand diviseur commun :

- \frac{2}{6}

- \frac{1 \cdot 2}{3 \cdot 2}

- \frac{1}{3}

x_{1} = - \frac{1}{3}

La formule du second degré donne

x_{2}

\frac{- b + \sqrt{Δ}}{2 a}

\frac{- (-2) + \sqrt{16}}{2 \cdot 3}

x_{2} = \frac{2 + \sqrt{16}}{2 \cdot 3}

ⓘ La racine carrée d'un nombre est le nombre positif dont le carré vaut ce nombre :

\sqrt{16}

4

;

4^{2}

16

ⅰ

2 \cdot 3

6

x_{2} = \frac{2 + 4}{6}

ⓘ Le numérateur et le dénominateur se calculent avant la division :

2 + 4

6

x_{2} = \frac{6}{6}

ⓘ On simplifie la fraction en divisant le numérateur et le dénominateur par

6

, leur plus grand diviseur commun :

\frac{6}{6}

1

x_{2} = 1

▶Solutions obtenues :

x = {- \frac{1}{3}; 1}

2) La valeur numérique de :

x = {- \frac{1}{3}; 1}

vaut :

▷

x = {\approx -0,3333; 1}