3x^2+10x+2=0 — solution étape par étape

1) Résolvons dans

ℝ

3 x^{2} + 10 x + 2 = 0

Vu la forme quadratique

a x^{2} + b x + c

, on calcule le discriminant :

Δ = b^{2} - 4 a c

. Ici

a = 3

b = 10

c = 2

Δ = 10^{2} - 4 \cdot 3 \cdot 2

ⓘ Les puissances se calculent avant les multiplications, les additions et les soustractions. Une puissance entière est un produit répété :

10^{2}

10 \cdot 10

100

■Les multiplications se font avant les additions et les soustractions :

4 \cdot 3

12

Δ = 100 - 12 \cdot 2

ⓘ Les multiplications se font avant les additions et les soustractions :

12 \cdot 2

(10 + 2) \cdot 2

10 \cdot 2 + 2 \cdot 2

20 + 4

24

Δ = 100 - 24

ⓘ On part de

100

et on recule de

24

sur la droite des nombres :

100 - 24

76

Δ = 76

Puisque

Δ > 0

, l'équation admet deux racines :

La formule du second degré donne

x_{1}

\frac{- b - \sqrt{Δ}}{2 a}

\frac{- 10 - \sqrt{76}}{2 \cdot 3}

x_{1} = \frac{- 10 - \sqrt{76}}{2 \cdot 3}

ⓘ On cherche le plus grand carré qui divise

76

4

2^{2}

, et on le sort de la racine :

\sqrt{76}

\sqrt{4 \cdot 19}

\sqrt{4} \cdot \sqrt{19}

2 \cdot \sqrt{19}

■On met le signe moins en facteur, en changeant le signe de chaque terme :

- 10 - 2 \cdot \sqrt{19}

- (10 + 2 \cdot \sqrt{19})

ⅰ

2 \cdot 3

6

x_{1} = - \frac{10 + 2 \cdot \sqrt{19}}{6}

ⓘ On simplifie une fraction en divisant le numérateur et le dénominateur par un même nombre :

- \frac{10 + 2 \cdot \sqrt{19}}{6}

- \frac{5 + \sqrt{19}}{3}

x_{1} = - \frac{5 + \sqrt{19}}{3}

La formule du second degré donne

x_{2}

\frac{- b + \sqrt{Δ}}{2 a}

\frac{- 10 + \sqrt{76}}{2 \cdot 3}

x_{2} = \frac{- 10 + \sqrt{76}}{2 \cdot 3}

ⓘ On cherche le plus grand carré qui divise

76

4

2^{2}

, et on le sort de la racine :

\sqrt{76}

\sqrt{4 \cdot 19}

\sqrt{4} \cdot \sqrt{19}

2 \cdot \sqrt{19}

ⅰ

2 \cdot 3

6

x_{2} = \frac{- 10 + 2 \cdot \sqrt{19}}{6}

ⓘ On simplifie une fraction en divisant le numérateur et le dénominateur par un même nombre :

\frac{- 10 + 2 \cdot \sqrt{19}}{6}

\frac{- 5 + \sqrt{19}}{3}

x_{2} = \frac{- 5 + \sqrt{19}}{3}

▶Solutions trouvées :

x = {- \frac{5 + \sqrt{19}}{3}; \frac{\sqrt{19} - 5}{3}}

2) La valeur numérique de :

x = {- \frac{5 + \sqrt{19}}{3}; \frac{\sqrt{19} - 5}{3}}

est :

x = {\approx - \frac{5 + 4,3589}{3}; \approx \frac{4,3589 - 5}{3}}

x = {\approx - \frac{9,3589}{3}; \approx - \frac{0,6411}{3}}

▷

x = {\approx -3,1196; \approx -0,2137}