3x^2+12x+3=0 — solution étape par étape

1) Résolvons dans

ℝ

3 x^{2} + 12 x + 3 = 0

Comme

3 \neq 0

, on divise les deux membres par

3

x^{2} + 4 x + 1 = 0

Étant donné la forme quadratique

a x^{2} + b x + c

, calculons le discriminant :

Δ = b^{2} - 4 a c

. Ici

a = 1

b = 4

c = 1

Δ = 4^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 1

ⓘ Les puissances se calculent avant les multiplications, les additions et les soustractions. Une puissance entière est un produit répété :

4^{2}

4 \cdot 4

16

Δ = 16 - 4

ⓘ On part de

16

et on recule de

4

sur la droite des nombres :

16 - 4

12

Δ = 12

Puisque

Δ > 0

, l'équation admet deux racines :

La formule du second degré donne

x_{1}

\frac{- b - \sqrt{Δ}}{2 a}

\frac{- 4 - \sqrt{12}}{2 \cdot 1}

x_{1} = \frac{- 4 - \sqrt{12}}{2}

ⓘ On cherche le plus grand carré qui divise

12

4

2^{2}

, et on le sort de la racine :

\sqrt{12}

\sqrt{4 \cdot 3}

\sqrt{4} \cdot \sqrt{3}

2 \cdot \sqrt{3}

■On met le signe moins en facteur, en changeant le signe de chaque terme :

- 4 - 2 \cdot \sqrt{3}

- (4 + 2 \cdot \sqrt{3})

x_{1} = - \frac{4 + 2 \cdot \sqrt{3}}{2}

ⓘ On simplifie une fraction en divisant le numérateur et le dénominateur par un même nombre :

- \frac{4 + 2 \cdot \sqrt{3}}{2}

- \frac{2 \cdot (2 + \sqrt{3})}{2}

- (2 + \sqrt{3})

x_{1} = - (2 + \sqrt{3})

ⓘ Un signe moins devant une parenthèse change le signe de chacun de ses termes :

- (2 + \sqrt{3})

- 2 - \sqrt{3}

x_{1} = - 2 - \sqrt{3}

La formule du second degré donne

x_{2}

\frac{- b + \sqrt{Δ}}{2 a}

\frac{- 4 + \sqrt{12}}{2 \cdot 1}

x_{2} = \frac{- 4 + \sqrt{12}}{2}

ⓘ On cherche le plus grand carré qui divise

12

4

2^{2}

, et on le sort de la racine :

\sqrt{12}

\sqrt{4 \cdot 3}

\sqrt{4} \cdot \sqrt{3}

2 \cdot \sqrt{3}

x_{2} = \frac{- 4 + 2 \cdot \sqrt{3}}{2}

ⓘ On simplifie une fraction en divisant le numérateur et le dénominateur par un même nombre :

\frac{- 4 + 2 \cdot \sqrt{3}}{2}

\frac{2 \cdot (- 2 + \sqrt{3})}{2}

- 2 + \sqrt{3}

x_{2} = - 2 + \sqrt{3}

▶Solutions obtenues :

x = {- \sqrt{3} - 2; \sqrt{3} - 2}

2) La valeur numérique de :

x = {- \sqrt{3} - 2; \sqrt{3} - 2}

est :

x = {\approx - 1,7321 - 2; \approx 1,7321 - 2}

▷

x = {\approx -3,7321; \approx -0,2679}