3x^2+8x-4=0 — solution étape par étape

1) Résolvons dans

ℝ

3 x^{2} + 8 x - 4 = 0

Étant donné la forme quadratique

a x^{2} + b x + c

, calculons le discriminant :

Δ = b^{2} - 4 a c

. Ici

a = 3

b = 8

c = -4

Δ = 8^{2} - 4 \cdot 3 \cdot (-4)

ⓘ Les puissances se calculent avant les multiplications, les additions et les soustractions. Une puissance entière est un produit répété :

8^{2}

8 \cdot 8

64

■Les multiplications se font avant les additions et les soustractions :

4 \cdot 3

12

■Deux signes moins s'annulent, le produit de deux nombres négatifs est positif :

- 12 \cdot (-4)

12 \cdot 4

Δ = 64 + 12 \cdot 4

ⓘ Les multiplications se font avant les additions et les soustractions :

12 \cdot 4

(10 + 2) \cdot 4

10 \cdot 4 + 2 \cdot 4

40 + 8

48

Δ = 64 + 48

ⓘ On part de

64

et on avance de

48

sur la droite des nombres :

64 + 48

112

Δ = 112

Puisque

Δ > 0

, l'équation admet deux racines :

La formule du second degré donne

x_{1}

\frac{- b - \sqrt{Δ}}{2 a}

\frac{- 8 - \sqrt{112}}{2 \cdot 3}

x_{1} = \frac{- 8 - \sqrt{112}}{2 \cdot 3}

ⓘ On cherche le plus grand carré qui divise

112

16

4^{2}

, et on le sort de la racine :

\sqrt{112}

\sqrt{16 \cdot 7}

\sqrt{16} \cdot \sqrt{7}

4 \cdot \sqrt{7}

■On met le signe moins en facteur, en changeant le signe de chaque terme :

- 8 - 4 \cdot \sqrt{7}

- (8 + 4 \cdot \sqrt{7})

ⅰ

2 \cdot 3

6

x_{1} = - \frac{8 + 4 \cdot \sqrt{7}}{6}

ⓘ On simplifie une fraction en divisant le numérateur et le dénominateur par un même nombre :

- \frac{8 + 4 \cdot \sqrt{7}}{6}

- \frac{2 \cdot (2 + \sqrt{7})}{3}

x_{1} = - \frac{2 \cdot (2 + \sqrt{7})}{3}

La formule du second degré donne

x_{2}

\frac{- b + \sqrt{Δ}}{2 a}

\frac{- 8 + \sqrt{112}}{2 \cdot 3}

x_{2} = \frac{- 8 + \sqrt{112}}{2 \cdot 3}

ⓘ On cherche le plus grand carré qui divise

112

16

4^{2}

, et on le sort de la racine :

\sqrt{112}

\sqrt{16 \cdot 7}

\sqrt{16} \cdot \sqrt{7}

4 \cdot \sqrt{7}

ⅰ

2 \cdot 3

6

x_{2} = \frac{- 8 + 4 \cdot \sqrt{7}}{6}

ⓘ On simplifie une fraction en divisant le numérateur et le dénominateur par un même nombre :

\frac{- 8 + 4 \cdot \sqrt{7}}{6}

\frac{2 \cdot (- 2 + \sqrt{7})}{3}

x_{2} = \frac{2 \cdot (- 2 + \sqrt{7})}{3}

▶Solutions obtenues :

x = {- \frac{2 \cdot (2 + \sqrt{7})}{3}; \frac{2 \cdot (\sqrt{7} - 2)}{3}}

2) La valeur numérique de :

x = {- \frac{2 \cdot (2 + \sqrt{7})}{3}; \frac{2 \cdot (\sqrt{7} - 2)}{3}}

est :

x = {\approx - \frac{2 \cdot (2 + 2,6458)}{3}; \approx \frac{2 \cdot (2,6458 - 2)}{3}}

x = {\approx - \frac{2 \cdot 4,6458}{3}; \approx \frac{2 \cdot 0,6458}{3}}

x = {\approx - \frac{9,2915}{3}; \approx \frac{1,2915}{3}}

▷

x = {\approx -3,0972; \approx 0,4305}