4x-2x^2=-32/3 — solution étape par étape

1) Résolvons dans

ℝ

4 x - 2 x^{2} = - \frac{32}{3}

Comme

-2 \neq 0

, on divise les deux membres par

-2

x^{2} - 2 x = \frac{16}{3}

x^{2} - 2 x - \frac{16}{3} = 0

Vu la forme quadratique

a x^{2} + b x + c

, on calcule le discriminant :

Δ = b^{2} - 4 a c

. Ici

a = 1

b = -2

c = - \frac{16}{3}

Δ = {(-2)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- \frac{16}{3})

ⓘ Les puissances se calculent avant les multiplications, les additions et les soustractions. Une puissance entière est un produit répété :

{(-2)}^{2}

(-2) \cdot (-2)

4

Δ = 4 - 4 \cdot (- \frac{16}{3})

ⓘ Deux signes moins s'annulent, le produit de deux nombres négatifs est positif :

- 4 \cdot (- \frac{16}{3})

4 \cdot \frac{16}{3}

Δ = 4 + 4 \cdot \frac{16}{3}

ⓘ Multiplier une fraction par un nombre revient à multiplier son numérateur :

4 \cdot \frac{16}{3}

\frac{4 \cdot 16}{3}

\frac{64}{3}

Δ = 4 + \frac{64}{3}

ⓘ Pour additionner des fractions, on les met au même dénominateur puis on additionne les numérateurs :

4 + \frac{64}{3}

\frac{3 \cdot 4 + 64}{3}

Δ = \frac{3 \cdot 4 + 64}{3}

ⓘ Les multiplications se font avant les additions et les soustractions :

3 \cdot 4

12

Δ = \frac{12 + 64}{3}

ⓘ Le numérateur et le dénominateur se calculent avant la division :

12 + 64

76

Δ = \frac{76}{3}

Puisque

Δ > 0

, l'équation admet deux racines :

La formule du second degré donne

x_{1}

\frac{- b - \sqrt{Δ}}{2 a}

\frac{- (-2) - \sqrt{\frac{76}{3}}}{2 \cdot 1}

x_{1} = \frac{2 - \sqrt{\frac{76}{3}}}{2}

ⓘ La racine d'un quotient est le quotient des racines, sqrt(a/b) = sqrt(a)/sqrt(b) :

\sqrt{\frac{76}{3}}

\frac{\sqrt{76}}{\sqrt{3}}

x_{1} = \frac{2 - \frac{\sqrt{76}}{\sqrt{3}}}{2}

ⓘ On cherche le plus grand carré qui divise

76

4

2^{2}

, et on le sort de la racine :

\sqrt{76}

\sqrt{4 \cdot 19}

\sqrt{4} \cdot \sqrt{19}

2 \cdot \sqrt{19}

■Pour additionner des fractions, on les met au même dénominateur puis on additionne les numérateurs :

2 - \frac{2 \cdot \sqrt{19}}{\sqrt{3}}

\frac{2 \cdot \sqrt{3} - 2 \cdot \sqrt{19}}{\sqrt{3}}

x_{1} = \frac{\frac{2 \cdot \sqrt{3} - 2 \cdot \sqrt{19}}{\sqrt{3}}}{2}

ⓘ Diviser une fraction par

2

revient à multiplier son dénominateur par

2

\frac{\frac{2 \cdot \sqrt{3} - 2 \cdot \sqrt{19}}{\sqrt{3}}}{2}

\frac{2 \cdot \sqrt{3} - 2 \cdot \sqrt{19}}{2 \cdot \sqrt{3}}

■On simplifie une fraction en divisant le numérateur et le dénominateur par un même nombre :

\frac{2 \cdot \sqrt{3} - 2 \cdot \sqrt{19}}{2 \cdot \sqrt{3}}

\frac{\sqrt{3} - \sqrt{19}}{\sqrt{3}}

x_{1} = \frac{\sqrt{3} - \sqrt{19}}{\sqrt{3}}

Par convention, on préfère avoir les racines carrées numériques au numérateur plutôt qu'au dénominateur :

ⅰ

\frac{\sqrt{3} - \sqrt{19}}{\sqrt{3}}

\frac{\sqrt{3} \cdot (\sqrt{3} - \sqrt{19})}{3}

x_{1} = \frac{\sqrt{3} \cdot (\sqrt{3} - \sqrt{19})}{3}

ⓘ On développe en multipliant chaque terme de la parenthèse :

\sqrt{3} \cdot (\sqrt{3} - \sqrt{19})

3 + \sqrt{3} \cdot (- \sqrt{19})

x_{1} = \frac{3 + \sqrt{3} \cdot (- \sqrt{19})}{3}

ⓘ On place le signe moins devant le produit :

\sqrt{3} \cdot (- \sqrt{19})

- \sqrt{3} \cdot \sqrt{19}

x_{1} = \frac{3 - \sqrt{3} \cdot \sqrt{19}}{3}

ⓘ Le produit de deux racines carrées est la racine carrée du produit :

\sqrt{3} \cdot \sqrt{19}

\sqrt{3 \cdot 19}

x_{1} = \frac{3 - \sqrt{3 \cdot 19}}{3}

ⅰ

3 \cdot 19

3 \cdot (10 + 9)

3 \cdot 10 + 3 \cdot 9

30 + 27

57

x_{1} = \frac{3 - \sqrt{57}}{3}

La formule du second degré donne

x_{2}

\frac{- b + \sqrt{Δ}}{2 a}

\frac{- (-2) + \sqrt{\frac{76}{3}}}{2 \cdot 1}

x_{2} = \frac{2 + \sqrt{\frac{76}{3}}}{2}

ⓘ La racine d'un quotient est le quotient des racines, sqrt(a/b) = sqrt(a)/sqrt(b) :

\sqrt{\frac{76}{3}}

\frac{\sqrt{76}}{\sqrt{3}}

x_{2} = \frac{2 + \frac{\sqrt{76}}{\sqrt{3}}}{2}

ⓘ On cherche le plus grand carré qui divise

76

4

2^{2}

, et on le sort de la racine :

\sqrt{76}

\sqrt{4 \cdot 19}

\sqrt{4} \cdot \sqrt{19}

2 \cdot \sqrt{19}

■Pour additionner des fractions, on les met au même dénominateur puis on additionne les numérateurs :

2 + \frac{2 \cdot \sqrt{19}}{\sqrt{3}}

\frac{2 \cdot \sqrt{3} + 2 \cdot \sqrt{19}}{\sqrt{3}}

x_{2} = \frac{\frac{2 \cdot \sqrt{3} + 2 \cdot \sqrt{19}}{\sqrt{3}}}{2}

ⓘ Diviser une fraction par

2

revient à multiplier son dénominateur par

2

\frac{\frac{2 \cdot \sqrt{3} + 2 \cdot \sqrt{19}}{\sqrt{3}}}{2}

\frac{2 \cdot \sqrt{3} + 2 \cdot \sqrt{19}}{2 \cdot \sqrt{3}}

■On simplifie une fraction en divisant le numérateur et le dénominateur par un même nombre :

\frac{2 \cdot \sqrt{3} + 2 \cdot \sqrt{19}}{2 \cdot \sqrt{3}}

\frac{\sqrt{3} + \sqrt{19}}{\sqrt{3}}

x_{2} = \frac{\sqrt{3} + \sqrt{19}}{\sqrt{3}}

Par convention, on préfère placer les racines carrées numériques au numérateur :

ⅰ

\frac{\sqrt{3} + \sqrt{19}}{\sqrt{3}}

\frac{\sqrt{3} \cdot (\sqrt{3} + \sqrt{19})}{3}

x_{2} = \frac{\sqrt{3} \cdot (\sqrt{3} + \sqrt{19})}{3}

ⓘ On développe en multipliant chaque terme de la parenthèse :

\sqrt{3} \cdot (\sqrt{3} + \sqrt{19})

3 + \sqrt{3} \cdot \sqrt{19}

x_{2} = \frac{3 + \sqrt{3} \cdot \sqrt{19}}{3}

ⓘ Des puissances de même exposant se multiplient en multipliant les bases :

\sqrt{3} \cdot \sqrt{19}

\sqrt{3 \cdot 19}

x_{2} = \frac{3 + \sqrt{3 \cdot 19}}{3}

ⅰ

3 \cdot 19

3 \cdot (10 + 9)

3 \cdot 10 + 3 \cdot 9

30 + 27

57

x_{2} = \frac{3 + \sqrt{57}}{3}

▶Solutions obtenues :

x = {\frac{3 - \sqrt{57}}{3}; \frac{3 + \sqrt{57}}{3}}

2) La valeur numérique de :

x = {\frac{3 - \sqrt{57}}{3}; \frac{3 + \sqrt{57}}{3}}

vaut :

x = {\approx \frac{3 - 7,5498}{3}; \approx \frac{3 + 7,5498}{3}}

x = {\approx - \frac{4,5498}{3}; \approx \frac{10,5498}{3}}

▷

x = {\approx -1,5166; \approx 3,5166}