4x^2+16x-9=0 — solution étape par étape

1) Résolvons dans

ℝ

4 x^{2} + 16 x - 9 = 0

Vu la forme quadratique

a x^{2} + b x + c

, on calcule le discriminant :

Δ = b^{2} - 4 a c

. Ici

a = 4

b = 16

c = -9

Δ = 16^{2} - 4 \cdot 4 \cdot (-9)

ⓘ Les puissances se calculent avant les multiplications, les additions et les soustractions. Une puissance entière est un produit répété :

16^{2}

16 \cdot 16

256

■Les multiplications se font avant les additions et les soustractions :

4 \cdot 4

16

■Deux signes moins s'annulent, le produit de deux nombres négatifs est positif :

- 16 \cdot (-9)

16 \cdot 9

Δ = 256 + 16 \cdot 9

ⓘ Les multiplications se font avant les additions et les soustractions :

16 \cdot 9

(10 + 6) \cdot 9

10 \cdot 9 + 6 \cdot 9

90 + 54

144

Δ = 256 + 144

ⓘ On part de

256

et on avance de

144

sur la droite des nombres :

256 + 144

400

Δ = 400

Puisque

Δ > 0

, l'équation admet deux racines :

La formule du second degré donne

x_{1}

\frac{- b - \sqrt{Δ}}{2 a}

\frac{- 16 - \sqrt{400}}{2 \cdot 4}

x_{1} = \frac{- 16 - \sqrt{400}}{2 \cdot 4}

ⓘ La racine carrée d'un nombre est le nombre positif dont le carré vaut ce nombre :

\sqrt{400}

20

;

20^{2}

400

ⅰ

2 \cdot 4

8

x_{1} = \frac{- 16 - 20}{8}

ⓘ Le numérateur et le dénominateur se calculent avant la division :

- 16 - 20

-36

x_{1} = - \frac{36}{8}

ⓘ On simplifie la fraction en divisant le numérateur et le dénominateur par

4

, leur plus grand diviseur commun :

- \frac{36}{8}

- \frac{9 \cdot 4}{2 \cdot 4}

- \frac{9}{2}

x_{1} = - \frac{9}{2}

La formule du second degré donne

x_{2}

\frac{- b + \sqrt{Δ}}{2 a}

\frac{- 16 + \sqrt{400}}{2 \cdot 4}

x_{2} = \frac{- 16 + \sqrt{400}}{2 \cdot 4}

ⓘ La racine carrée d'un nombre est le nombre positif dont le carré vaut ce nombre :

\sqrt{400}

20

;

20^{2}

400

ⅰ

2 \cdot 4

8

x_{2} = \frac{- 16 + 20}{8}

ⓘ Le numérateur et le dénominateur se calculent avant la division :

- 16 + 20

4

x_{2} = \frac{4}{8}

ⓘ On simplifie la fraction en divisant le numérateur et le dénominateur par

4

, leur plus grand diviseur commun :

\frac{4}{8}

\frac{1 \cdot 4}{2 \cdot 4}

\frac{1}{2}

x_{2} = \frac{1}{2}

▶Solutions trouvées :

x = {- \frac{9}{2}; \frac{1}{2}}

2) La valeur numérique de :

x = {- \frac{9}{2}; \frac{1}{2}}

vaut :

▷

x = {-4,5; 0,5}