4x^2+7x-2<= 0 — solution étape par étape

1) Résolvons dans

ℝ

4 x^{2} + 7 x - 2 \leq 0

Vu la forme quadratique

a x^{2} + b x + c

, on calcule le discriminant :

Δ = b^{2} - 4 a c

. Ici

a = 4

b = 7

c = -2

Δ = 7^{2} - 4 \cdot 4 \cdot (-2)

ⓘ Les puissances se calculent avant les multiplications, les additions et les soustractions. Une puissance entière est un produit répété :

7^{2}

7 \cdot 7

49

■Les multiplications se font avant les additions et les soustractions :

4 \cdot 4

16

■Deux signes moins s'annulent, le produit de deux nombres négatifs est positif :

- 16 \cdot (-2)

16 \cdot 2

Δ = 49 + 16 \cdot 2

ⓘ Les multiplications se font avant les additions et les soustractions :

16 \cdot 2

(10 + 6) \cdot 2

10 \cdot 2 + 6 \cdot 2

20 + 12

32

Δ = 49 + 32

ⓘ On part de

49

et on avance de

32

sur la droite des nombres :

49 + 32

81

Δ = 81

Puisque

Δ > 0

, l'équation admet deux racines :

La formule du second degré donne

x_{1}

\frac{- b - \sqrt{Δ}}{2 a}

\frac{- 7 - \sqrt{81}}{2 \cdot 4}

x_{1} = \frac{- 7 - \sqrt{81}}{2 \cdot 4}

ⓘ La racine carrée d'un nombre est le nombre positif dont le carré vaut ce nombre :

\sqrt{81}

9

;

9^{2}

81

ⅰ

2 \cdot 4

8

x_{1} = \frac{- 7 - 9}{8}

ⓘ Le numérateur et le dénominateur se calculent avant la division :

- 7 - 9

-16

x_{1} = - \frac{16}{8}

ⓘ On simplifie la fraction en divisant le numérateur et le dénominateur par

8

, leur plus grand diviseur commun :

- \frac{16}{8}

-2

x_{1} = -2

La formule du second degré donne

x_{2}

\frac{- b + \sqrt{Δ}}{2 a}

\frac{- 7 + \sqrt{81}}{2 \cdot 4}

x_{2} = \frac{- 7 + \sqrt{81}}{2 \cdot 4}

ⓘ La racine carrée d'un nombre est le nombre positif dont le carré vaut ce nombre :

\sqrt{81}

9

;

9^{2}

81

ⅰ

2 \cdot 4

8

x_{2} = \frac{- 7 + 9}{8}

ⓘ Le numérateur et le dénominateur se calculent avant la division :

- 7 + 9

2

x_{2} = \frac{2}{8}

ⓘ On simplifie la fraction en divisant le numérateur et le dénominateur par

2

, leur plus grand diviseur commun :

\frac{2}{8}

\frac{1 \cdot 2}{4 \cdot 2}

\frac{1}{4}

x_{2} = \frac{1}{4}

Le trinôme est du signe opposé à a =

4

entre ses racines, donc il est bien négatif entre ses racines ; les racines, où il s'annule, sont incluses.

▶Solution obtenue :

x \in [-2; \frac{1}{4}]

2) La valeur numérique de :

x \in [-2; \frac{1}{4}]

est :

▷

x \in [-2; 0,25]