4x^2+9x<-5 — solution étape par étape

1) Résolvons dans

ℝ

4 x^{2} + 9 x < -5

4 x^{2} + 9 x + 5 < 0

Vu la forme quadratique

a x^{2} + b x + c

, on calcule le discriminant :

Δ = b^{2} - 4 a c

. Ici

a = 4

b = 9

c = 5

Δ = 9^{2} - 4 \cdot 4 \cdot 5

ⓘ Les puissances se calculent avant les multiplications, les additions et les soustractions. Une puissance entière est un produit répété :

9^{2}

9 \cdot 9

81

■Les multiplications se font avant les additions et les soustractions :

4 \cdot 4

16

Δ = 81 - 16 \cdot 5

ⓘ Les multiplications se font avant les additions et les soustractions :

16 \cdot 5

(10 + 6) \cdot 5

10 \cdot 5 + 6 \cdot 5

50 + 30

80

Δ = 81 - 80

ⓘ On part de

81

et on recule de

80

sur la droite des nombres :

81 - 80

1

Δ = 1

Puisque

Δ > 0

, l'équation admet deux racines :

La formule du second degré donne

x_{1}

\frac{- b - \sqrt{Δ}}{2 a}

\frac{- 9 - \sqrt{1}}{2 \cdot 4}

x_{1} = \frac{- 9 - 1}{2 \cdot 4}

ⓘ Le numérateur et le dénominateur se calculent avant la division :

- 9 - 1

-10

ⅰ

2 \cdot 4

8

x_{1} = - \frac{10}{8}

ⓘ On simplifie la fraction en divisant le numérateur et le dénominateur par

2

, leur plus grand diviseur commun :

- \frac{10}{8}

- \frac{5 \cdot 2}{4 \cdot 2}

- \frac{5}{4}

x_{1} = - \frac{5}{4}

La formule du second degré donne

x_{2}

\frac{- b + \sqrt{Δ}}{2 a}

\frac{- 9 + \sqrt{1}}{2 \cdot 4}

x_{2} = \frac{- 9 + 1}{2 \cdot 4}

ⓘ Le numérateur et le dénominateur se calculent avant la division :

- 9 + 1

-8

ⅰ

2 \cdot 4

8

x_{2} = - \frac{8}{8}

ⓘ On simplifie la fraction en divisant le numérateur et le dénominateur par

8

, leur plus grand diviseur commun :

- \frac{8}{8}

-1

x_{2} = -1

Le trinôme est du signe opposé à a =

4

entre ses racines, donc il est bien négatif entre ses racines ; les racines, où il s'annule, sont exclues.

▶Solution trouvée :

x \in] - \frac{5}{4}; -1 [

2) La valeur numérique de :

x \in] - \frac{5}{4}; -1 [

vaut :

▷

x \in] -1,25; -1 [