5/(2t-1)<2 — solution étape par étape

1) Résolvons dans

ℝ

\frac{5}{2 t - 1} < 2

2) Additionnons les fractions :

\frac{5}{2 t - 1} - 2 < 0

ⓘ Pour additionner des fractions, on les met au même dénominateur puis on additionne les numérateurs :

\frac{5}{2 t - 1} - 2

\frac{5 - 2 \cdot (2 t - 1)}{2 t - 1}

\frac{5 - 2 \cdot (2 t - 1)}{2 t - 1} < 0

On étudie le signe du numérateur

Étudions le signe de

5 - 2 \cdot (2 t - 1)

en résolvant dans

ℝ

5 - 2 \cdot (2 t - 1) < 0

ⓘ On développe en multipliant chaque terme de la parenthèse :

- 2 \cdot (2 t - 1)

- (4 t - 2)

5 - (4 t - 2) < 0

ⓘ Un signe moins devant une parenthèse change le signe de chacun de ses termes :

- (4 t - 2)

- 4 t + 2

5 - 4 t + 2 < 0

ⓘ On part de

5

et on avance de

2

sur la droite des nombres :

5 + 2

7

7 - 4 t < 0

ⓘ On ajoute

4 t

aux deux membres

7 < 4 t

ⓘ On divise les deux membres par

4

Candidats, sous réserve du domaine :

t > \frac{7}{4}

⇥Donc l'expression

5 - 2 \cdot (2 t - 1)

est négative sur

] \frac{7}{4}; +∞ [

et positive ou nulle sinon

On étudie le signe du dénominateur, qui ne doit pas s'annuler

⇥L'expression

2 t - 1

s'annule en :

⇥

t = \frac{1}{2}

⇥Son coefficient en

t

2

, étant positif, elle est négative avant et positive après

\frac{1}{2}

(valeur interdite)

3) Dressons le tableau de signes :

Candidats, sous réserve du domaine :

t \in] -∞; \frac{1}{2} [\cup] \frac{7}{4}; +∞ [

4) Évaluons le domaine de

\frac{5}{2 t - 1} < 2

Pour que l'expression

\frac{5}{2 t - 1}

existe, on doit vérifier :

2 t - 1 \neq 0

ⓘ On ajoute

1

aux deux membres

2 t \neq 1

ⓘ On divise les deux membres par

2

Contraintes liées au domaine :

t \neq \frac{1}{2}

▶Solution :

t \in] -∞; \frac{1}{2} [\cup] \frac{7}{4}; +∞ [

5) La valeur numérique de :

t \in] -∞; \frac{1}{2} [\cup] \frac{7}{4}; +∞ [

est :

▷

t \in] -∞; 0,5 [\cup] 1,75; +∞ [