6/(x-1)-6/x >= 1 — solution étape par étape

1) Résolvons dans

ℝ

\frac{6}{x - 1} - \frac{6}{x} \geq 1

2) Ajoutons les fractions :

\frac{6}{x - 1} - \frac{6}{x} - 1 \geq 0

ⓘ Pour additionner des fractions, on les met au même dénominateur puis on additionne les numérateurs :

\frac{6}{x - 1} - \frac{6}{x}

\frac{6 x - 6 \cdot (x - 1)}{(x - 1) \cdot x}

\frac{6 x - 6 \cdot (x - 1)}{(x - 1) \cdot x} - 1 \geq 0

ⓘ Pour additionner des fractions, on les met au même dénominateur puis on additionne les numérateurs :

\frac{6 x - 6 \cdot (x - 1)}{(x - 1) \cdot x} - 1

\frac{(6 x - 6 \cdot (x - 1)) - 1 \cdot (x - 1) \cdot x}{(x - 1) \cdot x}

\frac{(6 x - 6 \cdot (x - 1)) - 1 \cdot (x - 1) \cdot x}{(x - 1) \cdot x} \geq 0

ⓘ Multiplier par 1 ne change rien :

1 \cdot (x - 1) \cdot x

(x - 1) \cdot x

\frac{6 x - 6 \cdot (x - 1) - (x - 1) \cdot x}{(x - 1) \cdot x} \geq 0

On étudie le signe du numérateur

⇥2.1) Étudions le signe de

6 x - 6 \cdot (x - 1) - (x - 1) \cdot x

en résolvant dans

ℝ

6 x - 6 \cdot (x - 1) - (x - 1) \cdot x \geq 0

⇥ⓘ On développe en multipliant chaque terme de la parenthèse :

- 6 \cdot (x - 1)

- (6 x - 6)

- (x - 1) \cdot x

- (x^{2} - x)

⇥

6 x - (6 x - 6) - (x^{2} - x) \geq 0

⇥

6 x

- 6 x

+ 6

- x^{2}

+ x \geq 0

⇥ⓘ On regroupe les termes semblables en additionnant leurs coefficients :

6 x

- 6 x

+ 6

- x^{2}

+ x

x + 6 - x^{2}

⇥

x + 6 - x^{2} \geq 0

⇥Vu la forme quadratique

a x^{2} + b x + c

, on calcule le discriminant :

Δ = b^{2} - 4 a c

. Ici

a = -1

b = 1

c = 6

⇥

Δ = 1 - 4 \cdot (-1) \cdot 6

⇥ⓘ Les multiplications se font avant les additions et les soustractions. Deux signes moins s'annulent, le produit de deux nombres négatifs est positif :

-4 \cdot (-1)

4

⇥

Δ = 1 + 4 \cdot 6

⇥ⓘ Les multiplications se font avant les additions et les soustractions :

4 \cdot 6

24

⇥

Δ = 1 + 24

⇥ⓘ On part de

1

et on avance de

24

sur la droite des nombres :

1 + 24

25

⇥

Δ = 25

⇥Comme

Δ > 0

, l'équation a deux racines :

⇥La formule du second degré donne

x_{1}

\frac{- b - \sqrt{Δ}}{2 a}

\frac{- 1 - \sqrt{25}}{2 \cdot (-1)}

⇥

x_{1} = \frac{- 1 - \sqrt{25}}{2 \cdot (-1)}

⇥ⓘ La racine carrée d'un nombre est le nombre positif dont le carré vaut ce nombre :

\sqrt{25}

5

;

5^{2}

25

■Un seul signe moins ne s'annule pas, le produit d'un nombre négatif par un nombre positif est négatif :

2 \cdot (-1)

-2

⇥

x_{1} = \frac{- 1 - 5}{-2}

⇥ⓘ Le signe d'une fraction se place devant la barre, qu'il vienne du numérateur ou du dénominateur :

\frac{- 1 - 5}{-2}

- (\frac{- 1 - 5}{2})

⇥

x_{1} = - (\frac{- 1 - 5}{2})

⇥ⓘ Le numérateur et le dénominateur se calculent avant la division :

- 1 - 5

-6

⇥

x_{1} = - (\frac{-6}{2})

⇥ⓘ Deux signes moins s'annulent :

- (\frac{-6}{2})

\frac{6}{2}

⇥

x_{1} = \frac{6}{2}

⇥ⓘ On simplifie la fraction en divisant le numérateur et le dénominateur par

2

, leur plus grand diviseur commun :

\frac{6}{2}

3

⇥

x_{1} = 3

⇥La formule du second degré donne

x_{2}

\frac{- b + \sqrt{Δ}}{2 a}

\frac{- 1 + \sqrt{25}}{2 \cdot (-1)}

⇥

x_{2} = \frac{- 1 + \sqrt{25}}{2 \cdot (-1)}

⇥ⓘ La racine carrée d'un nombre est le nombre positif dont le carré vaut ce nombre :

\sqrt{25}

5

;

5^{2}

25

■Un seul signe moins ne s'annule pas, le produit d'un nombre négatif par un nombre positif est négatif :

2 \cdot (-1)

-2

⇥

x_{2} = \frac{- 1 + 5}{-2}

⇥ⓘ Le signe d'une fraction se place devant la barre, qu'il vienne du numérateur ou du dénominateur :

\frac{- 1 + 5}{-2}

- (\frac{- 1 + 5}{2})

⇥

x_{2} = - (\frac{- 1 + 5}{2})

⇥ⓘ Le numérateur et le dénominateur se calculent avant la division :

- 1 + 5

4

⇥

x_{2} = - \frac{4}{2}

⇥ⓘ On simplifie la fraction en divisant le numérateur et le dénominateur par

2

, leur plus grand diviseur commun :

- \frac{4}{2}

-2

⇥

x_{2} = -2

⇥Le trinôme est du signe opposé à a =

-1

entre ses racines, donc il est bien positif entre ses racines ; les racines, où il s'annule, sont incluses.

⇥Candidats, sous réserve du domaine :

x \in [-2; 3]

⇥Donc l'expression

6 x - 6 \cdot (x - 1) - (x - 1) \cdot x

est positive ou nulle sur

[-2; 3]

et négative sinon

On étudie le signe du dénominateur, qui ne doit pas s'annuler

⇥2.2) Résolvons dans

ℝ

(x - 1) \cdot x > 0

⇥On étudie le signe de chaque facteur du produit

⇥⇥L'expression

x - 1

s'annule en

x = 1

(valeur interdite), elle est négative avant et positive après

⇥⇥L'expression

x

s'annule en

x = 0

(valeur interdite), elle est négative avant et positive après

3) Dressons le tableau de signes :

x	$-∞$		$-2$		$0$		$1$		$3$		$+∞$
$6 x - 6 \cdot (x - 1) - (x - 1) \cdot x$		-	0	+		+		+	0	-
$x - 1$		-		-		-	0	+		+
$x$		-		-	0	+		+		+
$(\frac{6}{x - 1} - \frac{6}{x}) - 1$		-	0	+	❌	-	❌	+	0	-

Candidats, sous réserve du domaine :

x \in [-2; 0 [\cup] 1; 3]

4) Cherchons le domaine de

\frac{6}{x - 1} - \frac{6}{x} \geq 1

Pour que l'expression

\frac{6}{x - 1}

existe, on doit vérifier :

x - 1 \neq 0

Pour que l'expression

- \frac{6}{x}

existe, on doit vérifier :

x \neq 0

5) Résolvons dans

ℝ

x - 1 \neq 0

ⓘ On ajoute

1

aux deux membres

Solution obtenue :

x \neq 1

Agrégeons les différents solutions pour trouver la solution globale :

x	$-∞$		$0$		$1$		$+∞$
$x - 1 \neq 0$		✅	✅	✅	❌	✅
$x \neq 0$		✅	❌	✅	✅	✅
Domaine de définition :		✅	❌	✅	❌	✅

Contraintes liées au domaine :

x \in ℝ \ {0; 1}

▶Solution :

x \in [-2; 0 [\cup] 1; 3]