6x^2-4x-5=4x — solution étape par étape

1) Résolvons dans

ℝ

6 x^{2} - 4 x - 5 = 4 x

6 x^{2}

- 4 x

- 5

- 4 x = 0

ⓘ On regroupe les termes semblables en additionnant leurs coefficients :

- 4 x - 4 x

-8 x

6 x^{2} - 8 x - 5 = 0

Étant donné la forme quadratique

a x^{2} + b x + c

, calculons le discriminant :

Δ = b^{2} - 4 a c

. Ici

a = 6

b = -8

c = -5

Δ = {(-8)}^{2} - 4 \cdot 6 \cdot (-5)

ⓘ Les puissances se calculent avant les multiplications, les additions et les soustractions. Une puissance entière est un produit répété :

{(-8)}^{2}

(-8) \cdot (-8)

64

■Les multiplications se font avant les additions et les soustractions :

4 \cdot 6

24

■Deux signes moins s'annulent, le produit de deux nombres négatifs est positif :

- 24 \cdot (-5)

24 \cdot 5

Δ = 64 + 24 \cdot 5

ⓘ Les multiplications se font avant les additions et les soustractions :

24 \cdot 5

(20 + 4) \cdot 5

20 \cdot 5 + 4 \cdot 5

100 + 20

120

Δ = 64 + 120

ⓘ On part de

64

et on avance de

120

sur la droite des nombres :

64 + 120

184

Δ = 184

Comme

Δ > 0

, l'équation a deux racines :

La formule du second degré donne

x_{1}

\frac{- b - \sqrt{Δ}}{2 a}

\frac{- (-8) - \sqrt{184}}{2 \cdot 6}

x_{1} = \frac{8 - \sqrt{184}}{2 \cdot 6}

ⓘ On cherche le plus grand carré qui divise

184

4

2^{2}

, et on le sort de la racine :

\sqrt{184}

\sqrt{4 \cdot 46}

\sqrt{4} \cdot \sqrt{46}

2 \cdot \sqrt{46}

ⅰ

2 \cdot 6

12

x_{1} = \frac{8 - 2 \cdot \sqrt{46}}{12}

ⓘ On simplifie une fraction en divisant le numérateur et le dénominateur par un même nombre :

\frac{8 - 2 \cdot \sqrt{46}}{12}

\frac{4 - \sqrt{46}}{6}

x_{1} = \frac{4 - \sqrt{46}}{6}

La formule du second degré donne

x_{2}

\frac{- b + \sqrt{Δ}}{2 a}

\frac{- (-8) + \sqrt{184}}{2 \cdot 6}

x_{2} = \frac{8 + \sqrt{184}}{2 \cdot 6}

ⓘ On cherche le plus grand carré qui divise

184

4

2^{2}

, et on le sort de la racine :

\sqrt{184}

\sqrt{4 \cdot 46}

\sqrt{4} \cdot \sqrt{46}

2 \cdot \sqrt{46}

ⅰ

2 \cdot 6

12

x_{2} = \frac{8 + 2 \cdot \sqrt{46}}{12}

ⓘ On simplifie une fraction en divisant le numérateur et le dénominateur par un même nombre :

\frac{8 + 2 \cdot \sqrt{46}}{12}

\frac{4 + \sqrt{46}}{6}

x_{2} = \frac{4 + \sqrt{46}}{6}

▶Solutions trouvées :

x = {\frac{4 - \sqrt{46}}{6}; \frac{4 + \sqrt{46}}{6}}

2) La valeur numérique de :

x = {\frac{4 - \sqrt{46}}{6}; \frac{4 + \sqrt{46}}{6}}

vaut :

x = {\approx \frac{4 - 6,7823}{6}; \approx \frac{4 + 6,7823}{6}}

x = {\approx - \frac{2,7823}{6}; \approx \frac{10,7823}{6}}

▷

x = {\approx -0,4637; \approx 1,7971}