6x^5 + 8x=26x^3 — solution étape par étape

1) Résolvons dans

ℝ

6 x^{5} + 8 x = 26 x^{3}

On peut mettre l'expression :

6 x^{5} - 26 x^{3} + 8 x

en facteurs :

x \cdot (6 x^{4} - 26 x^{2} + 8)

Un produit est nul si et seulement si l'un de ses facteurs est nul : on résout chaque facteur égal à 0

⇥1.1) Résolvons dans

ℝ

x = 0

⇥Solution trouvée :

x = 0

⇥1.2) Résolvons dans

ℝ

6 x^{4} - 26 x^{2} + 8 = 0

⇥Comme

2 \neq 0

, on divise les deux membres par

2

3 x^{4} - 13 x^{2} + 4 = 0

⇥Posons :

X = x^{2}

⇥On peut reformuler l'expression en :

3 X^{2} - 13 X + 4 = 0

⇥Étant donné la forme quadratique

a X^{2} + b X + c

, calculons le discriminant :

Δ = b^{2} - 4 a c

. Ici

a = 3

b = -13

c = 4

⇥

Δ = {(-13)}^{2} - 4 \cdot 3 \cdot 4

⇥ⓘ Les puissances se calculent avant les multiplications, les additions et les soustractions. Une puissance entière est un produit répété :

{(-13)}^{2}

(-13) \cdot (-13)

169

■Les multiplications se font avant les additions et les soustractions :

3 \cdot 4

12

⇥

Δ = 169 - 12 \cdot 4

⇥ⓘ Les multiplications se font avant les additions et les soustractions :

12 \cdot 4

(10 + 2) \cdot 4

10 \cdot 4 + 2 \cdot 4

40 + 8

48

⇥

Δ = 169 - 48

⇥ⓘ On part de

169

et on recule de

48

sur la droite des nombres :

169 - 48

121

⇥

Δ = 121

⇥Puisque

Δ > 0

, l'équation admet deux racines :

⇥La formule du second degré donne

X_{1}

\frac{- b - \sqrt{Δ}}{2 a}

\frac{- (-13) - \sqrt{121}}{2 \cdot 3}

⇥

X_{1} = \frac{13 - \sqrt{121}}{2 \cdot 3}

⇥ⓘ La racine carrée d'un nombre est le nombre positif dont le carré vaut ce nombre :

\sqrt{121}

11

;

11^{2}

121

⇥ⅰ

2 \cdot 3

6

⇥

X_{1} = \frac{13 - 11}{6}

⇥ⓘ Le numérateur et le dénominateur se calculent avant la division :

13 - 11

2

⇥

X_{1} = \frac{2}{6}

⇥ⓘ On simplifie la fraction en divisant le numérateur et le dénominateur par

2

, leur plus grand diviseur commun :

\frac{2}{6}

\frac{1 \cdot 2}{3 \cdot 2}

\frac{1}{3}

⇥

X_{1} = \frac{1}{3}

⇥La formule du second degré donne

X_{2}

\frac{- b + \sqrt{Δ}}{2 a}

\frac{- (-13) + \sqrt{121}}{2 \cdot 3}

⇥

X_{2} = \frac{13 + \sqrt{121}}{2 \cdot 3}

⇥ⓘ La racine carrée d'un nombre est le nombre positif dont le carré vaut ce nombre :

\sqrt{121}

11

;

11^{2}

121

⇥ⅰ

2 \cdot 3

6

⇥

X_{2} = \frac{13 + 11}{6}

⇥ⓘ Le numérateur et le dénominateur se calculent avant la division :

13 + 11

24

⇥

X_{2} = \frac{24}{6}

⇥ⓘ On simplifie la fraction en divisant le numérateur et le dénominateur par

6

, leur plus grand diviseur commun :

\frac{24}{6}

4

⇥

X_{2} = 4

⇥Solutions trouvées :

X = {\frac{1}{3}; 4}

⇥Résolvons dans

ℝ

x^{2} = X = \frac{1}{3}

⇥Les deux nombres dont le carré vaut

\frac{1}{3}

sont

- \frac{\sqrt{3}}{3}

\frac{\sqrt{3}}{3}

⇥Solutions trouvées :

x = {- \frac{\sqrt{3}}{3}; \frac{\sqrt{3}}{3}}

⇥Résolvons dans

ℝ

x^{2} = X = 4

⇥Les deux nombres dont le carré vaut

4

sont

-2

2

⇥Solutions trouvées :

x = {-2; 2}

▶Solution :

x = {-2; - \frac{\sqrt{3}}{3}; 0; \frac{\sqrt{3}}{3}; 2}

2) La valeur numérique de :

x = {-2; - \frac{\sqrt{3}}{3}; 0; \frac{\sqrt{3}}{3}; 2}

est :

x = {-2; \approx - \frac{1,7321}{3}; 0; \approx \frac{1,7321}{3}; 2}

▷

x = {-2; \approx -0,5774; 0; \approx 0,5774; 2}