7(x-4)^2-3(x+5)^2=4(x+1)-2 — solution étape par étape

1) Résolvons dans

ℝ

7 \cdot {(x - 4)}^{2} - 3 \cdot {(x + 5)}^{2} = 4 \cdot (x + 1) - 2

7 \cdot {(x - 4)}^{2}

- 3 \cdot {(x + 5)}^{2}

- 4 \cdot (x + 1)

+ 2 = 0

ⓘ Élever une somme à une puissance entière, c'est la multiplier par elle-même :

{(x - 4)}^{2}

(x - 4) \cdot (x - 4)

{(x + 5)}^{2}

(x + 5) \cdot (x + 5)

■On développe en multipliant chaque terme de la parenthèse :

- 4 \cdot (x + 1)

- (4 x + 4)

7 \cdot (x - 4) \cdot (x - 4)

- 3 \cdot (x + 5) \cdot (x + 5)

- (4 x + 4)

+ 2 = 0

ⓘ Un signe moins devant une parenthèse change le signe de chacun de ses termes :

- (4 x + 4)

- 4 x - 4

7 \cdot (x - 4) \cdot (x - 4)

- 3 \cdot (x + 5) \cdot (x + 5)

- 4 x

- 4

+ 2 = 0

ⓘ On part de

-4

et on avance de

2

sur la droite des nombres, en se rapprochant de zéro :

- 4 + 2

-2

7 \cdot (x - 4) \cdot (x - 4)

- 3 \cdot (x + 5) \cdot (x + 5)

- 4 x

- 2 = 0

ⓘ On développe en multipliant chaque terme de la parenthèse :

7 \cdot (x - 4)

7 x - 28

3 \cdot (x + 5)

3 x + 15

(7 x - 28) \cdot (x - 4)

- (3 x + 15) \cdot (x + 5)

- 4 x

- 2 = 0

ⓘ On développe en multipliant chaque terme de la parenthèse :

(7 x - 28) \cdot (x - 4)

7 \cdot x \cdot x

+ 7 x \cdot (-4)

- 28 x

- 28 \cdot (-4)

- (3 x + 15) \cdot (x + 5)

- (3 \cdot x \cdot x

+ 3 x \cdot 5

+ 15 x

+ 15 \cdot 5)

7 \cdot x \cdot x

+ 7 x \cdot (-4)

- 28 x

- 28 \cdot (-4)

- (3 \cdot x \cdot x

+ 3 x \cdot 5

+ 15 x

+ 15 \cdot 5)

- 4 x

- 2 = 0

ⓘ Multiplier des puissances de même base revient à additionner les exposants :

x \cdot x

x^{2}

■Les multiplications se font avant les additions et les soustractions. Un seul signe moins ne s'annule pas, le produit d'un nombre négatif par un nombre positif est négatif :

7 \cdot (-4)

-28

■Les multiplications se font avant les additions et les soustractions. Deux signes moins s'annulent, le produit de deux nombres négatifs est positif :

-28 \cdot (-4)

28 \cdot 4

(20 + 8) \cdot 4

20 \cdot 4 + 8 \cdot 4

80 + 32

112

■Un signe moins devant une parenthèse change le signe de chacun de ses termes :

- (3 \cdot x \cdot x

+ 3 x \cdot 5

+ 15 x

+ 15 \cdot 5)

- 3 \cdot x \cdot x

- 3 x \cdot 5

- 15 x

- 15 \cdot 5

■On regroupe les termes semblables en additionnant leurs coefficients :

- 28 x - 4 x

-32 x

7 x^{2}

- 28 x

- 32 x

+ 112

- 3 \cdot x \cdot x

- 3 x \cdot 5

- 15 x

- 15 \cdot 5

- 2 = 0

ⓘ Multiplier des puissances de même base revient à additionner les exposants :

x \cdot x

x^{2}

■Les multiplications se font avant les additions et les soustractions :

3 \cdot 5

15

15 \cdot 5

(10 + 5) \cdot 5

10 \cdot 5 + 5 \cdot 5

50 + 25

75

■On regroupe les termes semblables en additionnant leurs coefficients :

- 28 x - 32 x - 15 x

-75 x

7 x^{2}

- 75 x

+ 112

- 3 x^{2}

- 15 x

- 75

- 2 = 0

ⓘ On part de

112

et on recule de

75

sur la droite des nombres :

112 - 75

37

■On regroupe les termes semblables en additionnant leurs coefficients :

7 x^{2} - 3 x^{2}

4 x^{2}

- 75 x - 15 x

-90 x

4 x^{2}

- 90 x

+ 37

- 2 = 0

ⓘ On part de

37

et on recule de

2

sur la droite des nombres :

37 - 2

35

4 x^{2} - 90 x + 35 = 0

Étant donné la forme quadratique

a x^{2} + b x + c

, calculons le discriminant :

Δ = b^{2} - 4 a c

. Ici

a = 4

b = -90

c = 35

Δ = {(-90)}^{2} - 4 \cdot 4 \cdot 35

ⓘ Les puissances se calculent avant les multiplications, les additions et les soustractions. Une puissance entière est un produit répété :

{(-90)}^{2}

(-90) \cdot (-90)

8100

■Les multiplications se font avant les additions et les soustractions :

4 \cdot 4

16

Δ = 8100 - 16 \cdot 35

ⓘ Les multiplications se font avant les additions et les soustractions :

16 \cdot 35

(10 + 6) \cdot 35

10 \cdot 35 + 6 \cdot 35

350 + 210

560

Δ = 8100 - 560

ⓘ On part de

8100

et on recule de

560

sur la droite des nombres :

8100 - 560

7540

Δ = 7540

Puisque

Δ > 0

, l'équation admet deux racines :

La formule du second degré donne

x_{1}

\frac{- b - \sqrt{Δ}}{2 a}

\frac{- (-90) - \sqrt{7540}}{2 \cdot 4}

x_{1} = \frac{90 - \sqrt{7540}}{2 \cdot 4}

ⓘ On cherche le plus grand carré qui divise

7540

4

2^{2}

, et on le sort de la racine :

\sqrt{7540}

\sqrt{4 \cdot 1885}

\sqrt{4} \cdot \sqrt{1885}

2 \cdot \sqrt{1885}

ⅰ

2 \cdot 4

8

x_{1} = \frac{90 - 2 \cdot \sqrt{1885}}{8}

ⓘ On simplifie une fraction en divisant le numérateur et le dénominateur par un même nombre :

\frac{90 - 2 \cdot \sqrt{1885}}{8}

\frac{45 - \sqrt{1885}}{4}

x_{1} = \frac{45 - \sqrt{1885}}{4}

La formule du second degré donne

x_{2}

\frac{- b + \sqrt{Δ}}{2 a}

\frac{- (-90) + \sqrt{7540}}{2 \cdot 4}

x_{2} = \frac{90 + \sqrt{7540}}{2 \cdot 4}

ⓘ On cherche le plus grand carré qui divise

7540

4

2^{2}

, et on le sort de la racine :

\sqrt{7540}

\sqrt{4 \cdot 1885}

\sqrt{4} \cdot \sqrt{1885}

2 \cdot \sqrt{1885}

ⅰ

2 \cdot 4

8

x_{2} = \frac{90 + 2 \cdot \sqrt{1885}}{8}

ⓘ On simplifie une fraction en divisant le numérateur et le dénominateur par un même nombre :

\frac{90 + 2 \cdot \sqrt{1885}}{8}

\frac{45 + \sqrt{1885}}{4}

x_{2} = \frac{45 + \sqrt{1885}}{4}

▶Solutions trouvées :

x = {\frac{45 - \sqrt{1885}}{4}; \frac{45 + \sqrt{1885}}{4}}

2) La valeur numérique de :

x = {\frac{45 - \sqrt{1885}}{4}; \frac{45 + \sqrt{1885}}{4}}

vaut :

x = {\approx \frac{45 - 43,4166}{4}; \approx \frac{45 + 43,4166}{4}}

x = {\approx \frac{1,5834}{4}; \approx \frac{88,4166}{4}}

▷

x = {\approx 0,3959; \approx 22,1041}