7g^2-7g-5=0 — solution étape par étape

1) Résolvons dans

ℝ

7 g^{2} - 7 g - 5 = 0

Étant donné la forme quadratique

a g^{2} + b g + c

, calculons le discriminant :

Δ = b^{2} - 4 a c

. Ici

a = 7

b = -7

c = -5

Δ = {(-7)}^{2} - 4 \cdot 7 \cdot (-5)

ⓘ Les puissances se calculent avant les multiplications, les additions et les soustractions. Une puissance entière est un produit répété :

{(-7)}^{2}

(-7) \cdot (-7)

49

■Les multiplications se font avant les additions et les soustractions :

4 \cdot 7

28

■Deux signes moins s'annulent, le produit de deux nombres négatifs est positif :

- 28 \cdot (-5)

28 \cdot 5

Δ = 49 + 28 \cdot 5

ⓘ Les multiplications se font avant les additions et les soustractions :

28 \cdot 5

(20 + 8) \cdot 5

20 \cdot 5 + 8 \cdot 5

100 + 40

140

Δ = 49 + 140

ⓘ On part de

49

et on avance de

140

sur la droite des nombres :

49 + 140

189

Δ = 189

Puisque

Δ > 0

, l'équation admet deux racines :

La formule du second degré donne

g_{1}

\frac{- b - \sqrt{Δ}}{2 a}

\frac{- (-7) - \sqrt{189}}{2 \cdot 7}

g_{1} = \frac{7 - \sqrt{189}}{2 \cdot 7}

ⓘ On cherche le plus grand carré qui divise

189

9

3^{2}

, et on le sort de la racine :

\sqrt{189}

\sqrt{9 \cdot 21}

\sqrt{9} \cdot \sqrt{21}

3 \cdot \sqrt{21}

ⅰ

2 \cdot 7

14

g_{1} = \frac{7 - 3 \cdot \sqrt{21}}{14}

La formule du second degré donne

g_{2}

\frac{- b + \sqrt{Δ}}{2 a}

\frac{- (-7) + \sqrt{189}}{2 \cdot 7}

g_{2} = \frac{7 + \sqrt{189}}{2 \cdot 7}

ⓘ On cherche le plus grand carré qui divise

189

9

3^{2}

, et on le sort de la racine :

\sqrt{189}

\sqrt{9 \cdot 21}

\sqrt{9} \cdot \sqrt{21}

3 \cdot \sqrt{21}

ⅰ

2 \cdot 7

14

g_{2} = \frac{7 + 3 \cdot \sqrt{21}}{14}

▶Solutions obtenues :

g = {\frac{7 - 3 \cdot \sqrt{21}}{14}; \frac{7 + 3 \cdot \sqrt{21}}{14}}

2) La valeur numérique de :

g = {\frac{7 - 3 \cdot \sqrt{21}}{14}; \frac{7 + 3 \cdot \sqrt{21}}{14}}

vaut :

g = {\approx \frac{7 - 3 \cdot 4,5826}{14}; \approx \frac{7 + 3 \cdot 4,5826}{14}}

g = {\approx \frac{7 - 13,7477}{14}; \approx \frac{7 + 13,7477}{14}}

g = {\approx - \frac{6,7477}{14}; \approx \frac{20,7477}{14}}

▷

g = {\approx -0,4820; \approx 1,4820}