7y=3y^2+2 — solution étape par étape

1) Résolvons dans

ℝ

7 y = 3 y^{2} + 2

- 3 y^{2} + 7 y - 2 = 0

Comme

-1 \neq 0

, on divise les deux membres par

-1

3 y^{2} - 7 y + 2 = 0

Étant donné la forme quadratique

a y^{2} + b y + c

, calculons le discriminant :

Δ = b^{2} - 4 a c

. Ici

a = 3

b = -7

c = 2

Δ = {(-7)}^{2} - 4 \cdot 3 \cdot 2

ⓘ Les puissances se calculent avant les multiplications, les additions et les soustractions. Une puissance entière est un produit répété :

{(-7)}^{2}

(-7) \cdot (-7)

49

■Les multiplications se font avant les additions et les soustractions :

4 \cdot 3

12

Δ = 49 - 12 \cdot 2

ⓘ Les multiplications se font avant les additions et les soustractions :

12 \cdot 2

(10 + 2) \cdot 2

10 \cdot 2 + 2 \cdot 2

20 + 4

24

Δ = 49 - 24

ⓘ On part de

49

et on recule de

24

sur la droite des nombres :

49 - 24

25

Δ = 25

Comme

Δ > 0

, l'équation a deux racines :

La formule du second degré donne

y_{1}

\frac{- b - \sqrt{Δ}}{2 a}

\frac{- (-7) - \sqrt{25}}{2 \cdot 3}

y_{1} = \frac{7 - \sqrt{25}}{2 \cdot 3}

ⓘ La racine carrée d'un nombre est le nombre positif dont le carré vaut ce nombre :

\sqrt{25}

5

;

5^{2}

25

ⅰ

2 \cdot 3

6

y_{1} = \frac{7 - 5}{6}

ⓘ Le numérateur et le dénominateur se calculent avant la division :

7 - 5

2

y_{1} = \frac{2}{6}

ⓘ On simplifie la fraction en divisant le numérateur et le dénominateur par

2

, leur plus grand diviseur commun :

\frac{2}{6}

\frac{1 \cdot 2}{3 \cdot 2}

\frac{1}{3}

y_{1} = \frac{1}{3}

La formule du second degré donne

y_{2}

\frac{- b + \sqrt{Δ}}{2 a}

\frac{- (-7) + \sqrt{25}}{2 \cdot 3}

y_{2} = \frac{7 + \sqrt{25}}{2 \cdot 3}

ⓘ La racine carrée d'un nombre est le nombre positif dont le carré vaut ce nombre :

\sqrt{25}

5

;

5^{2}

25

ⅰ

2 \cdot 3

6

y_{2} = \frac{7 + 5}{6}

ⓘ Le numérateur et le dénominateur se calculent avant la division :

7 + 5

12

y_{2} = \frac{12}{6}

ⓘ On simplifie la fraction en divisant le numérateur et le dénominateur par

6

, leur plus grand diviseur commun :

\frac{12}{6}

2

y_{2} = 2

▶Solutions obtenues :

y = {\frac{1}{3}; 2}

2) La valeur numérique de :

y = {\frac{1}{3}; 2}

est :

▷

y = {\approx 0,3333; 2}