89x^2+38x-45=0 — solution étape par étape

1) Résolvons dans

ℝ

89 x^{2} + 38 x - 45 = 0

Vu la forme quadratique

a x^{2} + b x + c

, on calcule le discriminant :

Δ = b^{2} - 4 a c

. Ici

a = 89

b = 38

c = -45

Δ = 38^{2} - 4 \cdot 89 \cdot (-45)

ⓘ Les puissances se calculent avant les multiplications, les additions et les soustractions. Une puissance entière est un produit répété :

38^{2}

38 \cdot 38

1444

■Les multiplications se font avant les additions et les soustractions :

4 \cdot 89

4 \cdot (80 + 9)

4 \cdot 80 + 4 \cdot 9

320 + 36

356

■Deux signes moins s'annulent, le produit de deux nombres négatifs est positif :

- 356 \cdot (-45)

356 \cdot 45

Δ = 1444 + 356 \cdot 45

ⓘ Les multiplications se font avant les additions et les soustractions :

356 \cdot 45

356 \cdot (40 + 5)

356 \cdot 40 + 356 \cdot 5

14 240 + 1780

16 020

Δ = 1444 + 16 020

ⓘ On part de

1444

et on avance de

16 020

sur la droite des nombres :

1444 + 16 020

17 464

Δ = 17 464

Comme

Δ > 0

, l'équation a deux racines :

La formule du second degré donne

x_{1}

\frac{- b - \sqrt{Δ}}{2 a}

\frac{- 38 - \sqrt{17 464}}{2 \cdot 89}

x_{1} = \frac{- 38 - \sqrt{17 464}}{2 \cdot 89}

ⓘ On cherche le plus grand carré qui divise

17 464

4

2^{2}

, et on le sort de la racine :

\sqrt{17 464}

\sqrt{4 \cdot 4366}

\sqrt{4} \cdot \sqrt{4366}

2 \cdot \sqrt{4366}

■On met le signe moins en facteur, en changeant le signe de chaque terme :

- 38 - 2 \cdot \sqrt{4366}

- (38 + 2 \cdot \sqrt{4366})

ⅰ

2 \cdot 89

2 \cdot (80 + 9)

2 \cdot 80 + 2 \cdot 9

160 + 18

178

x_{1} = - \frac{38 + 2 \cdot \sqrt{4366}}{178}

ⓘ On simplifie une fraction en divisant le numérateur et le dénominateur par un même nombre :

- \frac{38 + 2 \cdot \sqrt{4366}}{178}

- \frac{19 + \sqrt{4366}}{89}

x_{1} = - \frac{19 + \sqrt{4366}}{89}

La formule du second degré donne

x_{2}

\frac{- b + \sqrt{Δ}}{2 a}

\frac{- 38 + \sqrt{17 464}}{2 \cdot 89}

x_{2} = \frac{- 38 + \sqrt{17 464}}{2 \cdot 89}

ⓘ On cherche le plus grand carré qui divise

17 464

4

2^{2}

, et on le sort de la racine :

\sqrt{17 464}

\sqrt{4 \cdot 4366}

\sqrt{4} \cdot \sqrt{4366}

2 \cdot \sqrt{4366}

ⅰ

2 \cdot 89

2 \cdot (80 + 9)

2 \cdot 80 + 2 \cdot 9

160 + 18

178

x_{2} = \frac{- 38 + 2 \cdot \sqrt{4366}}{178}

ⓘ On simplifie une fraction en divisant le numérateur et le dénominateur par un même nombre :

\frac{- 38 + 2 \cdot \sqrt{4366}}{178}

\frac{- 19 + \sqrt{4366}}{89}

x_{2} = \frac{- 19 + \sqrt{4366}}{89}

▶Solutions trouvées :

x = {- \frac{19 + \sqrt{4366}}{89}; \frac{\sqrt{4366} - 19}{89}}

2) La valeur numérique de :

x = {- \frac{19 + \sqrt{4366}}{89}; \frac{\sqrt{4366} - 19}{89}}

est :

x = {\approx - \frac{19 + 66,0757}{89}; \approx \frac{66,0757 - 19}{89}}

x = {\approx - \frac{85,0757}{89}; \approx \frac{47,0757}{89}}

▷

x = {\approx -0,9559; \approx 0,5289}