9^x = 2e^(x^2) — solution étape par étape

1) Résolvons dans

ℝ

9^{x} = 2 e^{x^{2}}

Appliquons la fonction ln des deux côtés :

\ln (9^{x}) = \ln (2 e^{x^{2}})

ⓘ Sur le domaine réel de l'expression initiale, la base est strictement positive : le logarithme de la puissance est l'exposant multiplié par le logarithme de la base :

\ln (9^{x})

x \cdot \ln (9)

■Sur le domaine réel de l'expression initiale, les facteurs sont strictement positifs : le logarithme du produit est la somme des logarithmes, celui du quotient leur différence :

\ln (2 e^{x^{2}})

\ln (2) + \ln (e^{x^{2}})

x \cdot \ln (9) = \ln (2) + \ln (e^{x^{2}})

ⓘ Le logarithme d'une puissance est un multiple du logarithme, ln(a^n) = n*ln(a) :

\ln (9)

\ln (3^{2})

2 \cdot \ln (3)

■Pour

x

réel,

\ln (\exp (x)) = x

; lorsque

\ln (x)

est défini,

\exp (\ln (x)) = x

\ln (e^{x^{2}})

x^{2}

x \cdot 2 \cdot \ln (3) = \ln (2) + x^{2}

- x^{2} + 2 x \cdot \ln (3) - \ln (2) = 0

Comme

-1 \neq 0

, on divise les deux membres par

-1

x^{2} - 2 x \cdot \ln (3) + \ln (2) = 0

Étant donné la forme quadratique

a x^{2} + b x + c

, calculons le discriminant :

Δ = b^{2} - 4 a c

. Ici

a = 1

b = -2 \cdot \ln (3)

c = \ln (2)

Δ = {(-2 \cdot \ln (3))}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot \ln (2)

ⓘ Les puissances se calculent avant les multiplications, les additions et les soustractions. Avec un exposant entier pair, le signe moins dans la base disparaît ; avec un exposant entier impair, il passe devant la puissance :

{(- 2 \cdot \ln (3))}^{2}

{(2 \cdot \ln (3))}^{2}

Δ = {(2 \cdot \ln (3))}^{2} - 4 \cdot \ln (2)

ⓘ La puissance d'un produit est le produit des puissances :

{(2 \cdot \ln (3))}^{2}

2^{2} \cdot {\ln (3)}^{2}

Δ = 2^{2} \cdot {\ln (3)}^{2} - 4 \cdot \ln (2)

ⓘ Les puissances se calculent avant les multiplications, les additions et les soustractions. Une puissance entière est un produit répété :

2^{2}

2 \cdot 2

4

Δ = 4 \cdot {\ln (3)}^{2} - 4 \cdot \ln (2)

Comme

Δ

\approx 2,0552 > 0

, l'équation a deux racines :

La formule du second degré donne

x_{1}

\frac{- b - \sqrt{Δ}}{2 a}

\frac{- (-2 \cdot \ln (3)) - \sqrt{4 \cdot {\ln (3)}^{2} - 4 \cdot \ln (2)}}{2 \cdot 1}

x_{1} = \frac{- (-2 \cdot \ln (3)) - \sqrt{4 \cdot {\ln (3)}^{2} - 4 \cdot \ln (2)}}{2}

ⓘ On extrait les signes moins : un nombre pair de signes moins s'annule, un nombre impair laisse un signe moins :

- (-2 \cdot \ln (3))

2 \cdot \ln (3)

■Un facteur qui est une puissance exacte sort de la racine :

\sqrt{4 \cdot {\ln (3)}^{2} - 4 \cdot \ln (2)}

2 \cdot \sqrt{{\ln (3)}^{2} - \ln (2)}

x_{1} = \frac{2 \cdot \ln (3) - 2 \cdot \sqrt{{\ln (3)}^{2} - \ln (2)}}{2}

ⓘ On simplifie une fraction en divisant le numérateur et le dénominateur par un même nombre :

\frac{2 \cdot \ln (3) - 2 \cdot \sqrt{{\ln (3)}^{2} - \ln (2)}}{2}

\frac{2 \cdot (\ln (3) - \sqrt{{\ln (3)}^{2} - \ln (2)})}{2}

\ln (3) - \sqrt{{\ln (3)}^{2} - \ln (2)}

x_{1} = \ln (3) - \sqrt{{\ln (3)}^{2} - \ln (2)}

La formule du second degré donne

x_{2}

\frac{- b + \sqrt{Δ}}{2 a}

\frac{- (-2 \cdot \ln (3)) + \sqrt{4 \cdot {\ln (3)}^{2} - 4 \cdot \ln (2)}}{2 \cdot 1}

x_{2} = \frac{- (-2 \cdot \ln (3)) + \sqrt{4 \cdot {\ln (3)}^{2} - 4 \cdot \ln (2)}}{2}

ⓘ On extrait les signes moins : un nombre pair de signes moins s'annule, un nombre impair laisse un signe moins :

- (-2 \cdot \ln (3))

2 \cdot \ln (3)

■Un facteur qui est une puissance exacte sort de la racine :

\sqrt{4 \cdot {\ln (3)}^{2} - 4 \cdot \ln (2)}

2 \cdot \sqrt{{\ln (3)}^{2} - \ln (2)}

x_{2} = \frac{2 \cdot \ln (3) + 2 \cdot \sqrt{{\ln (3)}^{2} - \ln (2)}}{2}

ⓘ On simplifie une fraction en divisant le numérateur et le dénominateur par un même nombre :

\frac{2 \cdot \ln (3) + 2 \cdot \sqrt{{\ln (3)}^{2} - \ln (2)}}{2}

\frac{2 \cdot (\ln (3) + \sqrt{{\ln (3)}^{2} - \ln (2)})}{2}

\ln (3) + \sqrt{{\ln (3)}^{2} - \ln (2)}

x_{2} = \ln (3) + \sqrt{{\ln (3)}^{2} - \ln (2)}

▶Solutions obtenues :

x = {\ln (3) - \sqrt{{\ln (3)}^{2} - \ln (2)}; \ln (3) + \sqrt{{\ln (3)}^{2} - \ln (2)}}

2) La valeur numérique de :

x = {\ln (3) - \sqrt{{\ln (3)}^{2} - \ln (2)}; \ln (3) + \sqrt{{\ln (3)}^{2} - \ln (2)}}

est :

x = {\approx 1,0986 - {({1,0986}^{2} - 0,6931)}^{0,5}; \approx 1,0986 + {({1,0986}^{2} - 0,6931)}^{0,5}}

x = {\approx 1,0986 - {(1,2069 - 0,6931)}^{0,5}; \approx 1,0986 + {(1,2069 - 0,6931)}^{0,5}}

x = {\approx 1,0986 - {0,5138}^{0,5}; \approx 1,0986 + {0,5138}^{0,5}}

x = {\approx 1,0986 - 0,7168; \approx 1,0986 + 0,7168}

▷

x = {\approx 0,3818; \approx 1,8154}