abs(2*x-1)+3=abs(5-x)+4 — solution étape par étape

1) Résolvons dans

ℝ

abs (2 x - 1) + 3 = abs (5 - x) + 4

abs (2 x - 1)

+ 3

- abs (5 - x)

- 4 = 0

ⓘ On part de

3

et on recule de

4

sur la droite des nombres, en passant sous zéro :

3 - 4

-1

abs (2 x - 1) - 1 - abs (5 - x) = 0

Les arguments des valeurs absolues s'annulent en

{\frac{1}{2}; 5}

. On découpe ℝ à ces points et on résout dans chaque intervalle

Sur

] -∞; \frac{1}{2}]

2 x - 1 \leq 0

, donc

abs (2 x - 1) = - (2 x - 1)

;

5 - x \geq 0

, donc

abs (5 - x) = 5 - x

Sur

] -∞; \frac{1}{2}]

, l'équation devient

- (2 x - 1) - 1 - (5 - x) = 0

2) Résolvons dans

ℝ

- (2 x - 1) - 1 - (5 - x) = 0

- 2 x

+ 1

- 1

- 5

+ x = 0

ⓘ On part de

1

et on recule de

1

sur la droite des nombres, jusqu'à zéro :

1 - 1

0

■On regroupe les termes semblables en additionnant leurs coefficients :

- 2 x + x

- x

- x + 0 - 5 = 0

ⓘ Additionner 0 ne change rien :

0 - 5

-5

- x - 5 = 0

ⓘ On ajoute

x

aux deux membres

-5 = x

Solution obtenue :

x = -5

Comme

-5 \leq \frac{1}{2}

, on peut garder la solution

-5

Sur

[\frac{1}{2}; 5]

2 x - 1 \geq 0

, donc

abs (2 x - 1) = 2 x - 1

;

5 - x \geq 0

, donc

abs (5 - x) = 5 - x

Sur

[\frac{1}{2}; 5]

, l'équation devient

(2 x - 1) - 1 - (5 - x) = 0

3) Résolvons dans

ℝ

(2 x - 1) - 1 - (5 - x) = 0

ⓘ On part de

-1

et on recule encore de

1

sur la droite des nombres, en s'éloignant de zéro :

- 1 - 1

-2

■Un signe moins devant une parenthèse change le signe de chacun de ses termes :

- (5 - x)

- 5 + x

2 x

- 2

- 5

+ x = 0

ⓘ On part de

-2

et on recule encore de

5

sur la droite des nombres, en s'éloignant de zéro :

- 2 - 5

-7

■On regroupe les termes semblables en additionnant leurs coefficients :

2 x + x

3 x

3 x - 7 = 0

ⓘ On ajoute

7

aux deux membres

3 x = 7

ⓘ On divise les deux membres par

3

Solution trouvée :

x = \frac{7}{3}

Comme

\frac{7}{3} \in [\frac{1}{2}; 5]

, on peut garder la solution

\frac{7}{3}

Sur

[5; +∞ [

2 x - 1 \geq 0

, donc

abs (2 x - 1) = 2 x - 1

;

5 - x \leq 0

, donc

abs (5 - x) = - (5 - x)

Sur

[5; +∞ [

, l'équation devient

(2 x - 1) - 1 + (5 - x) = 0

4) Résolvons dans

ℝ

(2 x - 1) - 1 + (5 - x) = 0

ⓘ On part de

-1

et on recule encore de

1

sur la droite des nombres, en s'éloignant de zéro :

- 1 - 1

-2

■On regroupe les termes semblables en additionnant leurs coefficients :

2 x - x

x

x - 2 + 5 = 0

ⓘ On part de

-2

et on avance de

5

sur la droite des nombres, en dépassant zéro :

- 2 + 5

3

x + 3 = 0

ⓘ On soustrait

3

aux deux membres

Solution obtenue :

x = -3

Comme

-3 \notin [5; +∞ [

, on ne peut pas garder la solution

-3

▶Solutions trouvées :

x = {-5; \frac{7}{3}}

5) La valeur numérique de :

x = {-5; \frac{7}{3}}

est :

▷

x = {-5; \approx 2,3333}