abs(2*x-1)+3=abs(x-5) — solution étape par étape

1) Résolvons dans

ℝ

abs (2 x - 1) + 3 = abs (x - 5)

Les arguments des valeurs absolues s'annulent en

{\frac{1}{2}; 5}

. On découpe ℝ à ces points et on résout dans chaque intervalle

Sur

] -∞; \frac{1}{2}]

2 x - 1 \leq 0

, donc

abs (2 x - 1) = - (2 x - 1)

;

x - 5 \leq 0

, donc

abs (x - 5) = - (x - 5)

Sur

] -∞; \frac{1}{2}]

, l'équation devient

- (2 x - 1) + 3 = - (x - 5)

2) Résolvons dans

ℝ

- (2 x - 1) + 3 = - (x - 5)

ⓘ Un signe moins devant une parenthèse change le signe de chacun de ses termes :

- (2 x - 1)

- 2 x + 1

- (x - 5)

- x + 5

- 2 x + 1 + 3 = - x + 5

ⓘ On part de

1

et on avance de

3

sur la droite des nombres :

1 + 3

4

- 2 x + 4 = - x + 5

ⓘ On regroupe les termes en

x

à droite et les autres à gauche

4 - 5 = - x + 2 x

ⓘ On part de

4

et on recule de

5

sur la droite des nombres, en passant sous zéro :

4 - 5

-1

■On regroupe les termes semblables en additionnant leurs coefficients :

- x + 2 x

x

-1 = x

Solution obtenue :

x = -1

Comme

-1 \leq \frac{1}{2}

, on peut garder la solution

-1

Sur

[\frac{1}{2}; 5]

2 x - 1 \geq 0

, donc

abs (2 x - 1) = 2 x - 1

;

x - 5 \leq 0

, donc

abs (x - 5) = - (x - 5)

Sur

[\frac{1}{2}; 5]

, l'équation devient

(2 x - 1) + 3 = - (x - 5)

3) Résolvons dans

ℝ

(2 x - 1) + 3 = - (x - 5)

ⓘ On part de

-1

et on avance de

3

sur la droite des nombres, en dépassant zéro :

- 1 + 3

2

■Un signe moins devant une parenthèse change le signe de chacun de ses termes :

- (x - 5)

- x + 5

2 x + 2 = - x + 5

ⓘ On soustrait

2

aux deux membres■On part de

5

et on recule de

2

sur la droite des nombres :

5 - 2

3

2 x = - x + 3

ⓘ On ajoute

x

aux deux membres

2 x + x = 3

ⓘ On regroupe les termes semblables en additionnant leurs coefficients :

2 x + x

3 x

3 x = 3

ⓘ On divise les deux membres par

3

x = \frac{3}{3}

ⓘ On simplifie la fraction en divisant le numérateur et le dénominateur par

3

, leur plus grand diviseur commun :

\frac{3}{3}

1

Solution obtenue :

x = 1

Comme

1 \in [\frac{1}{2}; 5]

, on peut garder la solution

1

Sur

[5; +∞ [

2 x - 1 \geq 0

, donc

abs (2 x - 1) = 2 x - 1

;

x - 5 \geq 0

, donc

abs (x - 5) = x - 5

Sur

[5; +∞ [

, l'équation devient

(2 x - 1) + 3 = x - 5

4) Résolvons dans

ℝ

(2 x - 1) + 3 = x - 5

ⓘ On part de

-1

et on avance de

3

sur la droite des nombres, en dépassant zéro :

- 1 + 3

2

2 x + 2 = x - 5

ⓘ On soustrait

2

aux deux membres■On part de

-5

et on recule encore de

2

sur la droite des nombres, en s'éloignant de zéro :

- 5 - 2

-7

2 x = x - 7

ⓘ On soustrait

x

aux deux membres

2 x - x = -7

ⓘ On regroupe les termes semblables en additionnant leurs coefficients :

2 x - x

x

Solution obtenue :

x = -7

Comme

-7 \notin [5; +∞ [

, on ne peut pas garder la solution

-7

▶Solutions obtenues :

x = {-1; 1}