abs(x-1)+abs(x+1)=1
1) Résolvons dans ℝ : abs(x -1) + abs(x + 1) = 1
Les arguments des valeurs absolues s'annulent en { -1 ; 1 }. On découpe ℝ à ces points et on résout dans chaque intervalle
Sur ]-∞ ; -1] : x -1 ≤ 0, donc abs(x -1) = -(x -1) ; x + 1 ≤ 0, donc abs(x + 1) = -(x + 1)
Sur ]-∞ ; -1], l'équation devient -(x -1) -(x + 1) = 1
2) Résolvons dans ℝ : -(x -1) -(x + 1) = 1
-x + 1 -x -1 = 1
ⓘ On part de 1 et on recule de 1 sur la droite des nombres, jusqu'à zéro : 1 -1 = 0■On regroupe les termes semblables en additionnant leurs coefficients : -x -x = -2x
-2x + 0 = 1
ⓘ Additionner 0 ne change rien : -2x + 0 = -2x
-2x = 1
ⓘ On divise les deux membres par -2
x = 1-2
ⓘ Le signe d'une fraction se place devant la barre, qu'il vienne du numérateur ou du dénominateur : 1-2 = -12
Solution trouvée : x = -12
Comme -12 ∉ ]-∞ ; -1], on ne peut pas garder la solution -12
Sur [-1 ; 1] : x -1 ≤ 0, donc abs(x -1) = -(x -1) ; x + 1 ≥ 0, donc abs(x + 1) = x + 1
Sur [-1 ; 1], l'équation devient -(x -1) + (x + 1) = 1
3) Résolvons dans ℝ : -(x -1) + (x + 1) = 1
ⓘ Un signe moins devant une parenthèse change le signe de chacun de ses termes : -(x -1) = -x + 1
-x + 1 + x + 1 = 1
ⓘ On part de 1 et on avance de 1 sur la droite des nombres : 1 + 1 = 2■On regroupe les termes semblables en additionnant leurs coefficients : -x + x = 0
0 + 2 = 1
ⓘ Additionner 0 ne change rien : 0 + 2 = 2
2 = 1
L'affirmation 2 = 1 est fausse, quelle que soit la valeur de x
Solution : x ∈ ∅
Sur [1 ; +∞[ : x -1 ≥ 0, donc abs(x -1) = x -1 ; x + 1 ≥ 0, donc abs(x + 1) = x + 1
Sur [1 ; +∞[, l'équation devient (x -1) + (x + 1) = 1
4) Résolvons dans ℝ : (x -1) + (x + 1) = 1
ⓘ On part de -1 et on avance de 1 sur la droite des nombres, jusqu'à zéro : -1 + 1 = 0■On regroupe les termes semblables en additionnant leurs coefficients : x + x = 2x
2x + 0 = 1
ⓘ Additionner 0 ne change rien : 2x + 0 = 2x
2x = 1
ⓘ On divise les deux membres par 2
Solution obtenue : x = 12
Comme 12 ∉ [1 ; +∞[, on ne peut pas garder la solution 12
▶Solution : x ∈ ∅