aire 3x,7x^2 — solution étape par étape

⚠Ⓘ 3x est lu comme le produit 3*x : pour une puissance, écrivez 3^x‖7x est lu comme le produit 7*x : pour une puissance, écrivez 7^x

y

est déjà isolé dans

y = 3 x

y

est déjà isolé dans

y = 7 x^{2}

Aux intersections,

3 x

7 x^{2}

. Soustrayons la seconde expression à la première :

3 x - 7 x^{2} = 0

⇥On peut écrire l'expression :

3 x - 7 x^{2}

sous la forme factorisée :

x \cdot (3 - 7 x)

⇥Solution obtenue :

x = 0

⇥1.1) Résolvons dans

ℝ

3 - 7 x = 0

⇥

7 x = 3

⇥Solution obtenue :

x = \frac{3}{7}

L'aire entre

3 x

7 x^{2}

sur

[0, \frac{3}{7}]

est l'intégrale de la valeur absolue de leur différence

Aucune intersection intérieure : la différence garde son signe sur l'intervalle

Sur

[0, \frac{3}{7}]

3 x

est au-dessus de

7 x^{2}

: intégrons

3 x - 7 x^{2}

⇥1.2) Intégrons :

\int(3 x - 7 x^{2})dx

⇥

\int(3 x)dx - \int(7 x^{2})dx

⇥ℹ

\int(3 x)dx

3 \cdot \frac{x^{2}}{2}

‖

- \int(7 x^{2})dx

- 7 \cdot \frac{x^{3}}{3}

⇥

3 \cdot \frac{x^{2}}{2} - 7 \cdot \frac{x^{3}}{3}

⇥ℹ

3 \cdot \frac{x^{2}}{2}

\frac{3 x^{2}}{2}

‖

- 7 \cdot \frac{x^{3}}{3}

- \frac{7 x^{3}}{3}

▷

\frac{3 x^{2}}{2} - \frac{7 x^{3}}{3}

⇥1.3) Évaluons pour l'intervalle

[0, \frac{3}{7}]

(- \frac{7 \cdot {(\frac{3}{7})}^{3}}{3} + \frac{3 \cdot {(\frac{3}{7})}^{2}}{2}) - (- \frac{7 \cdot 0^{3}}{3} + \frac{3 \cdot 0^{2}}{2})

⇥

- \frac{7 \cdot {(\frac{3}{7})}^{3}}{3}

+ \frac{3 \cdot {(\frac{3}{7})}^{2}}{2}

+ \frac{7 \cdot 0^{3}}{3}

- \frac{3 \cdot 0^{2}}{2}

⇥ℹ

7 \cdot 0

0

‖

3 \cdot 0

0

⇥

- \frac{7 \cdot {(\frac{3}{7})}^{3}}{3}

+ \frac{3 \cdot {(\frac{3}{7})}^{2}}{2}

+ 0

+ 0

⇥

- \frac{7 \cdot {(\frac{3}{7})}^{3}}{3} + \frac{3 \cdot {(\frac{3}{7})}^{2}}{2}

⇥ℹ

{(\frac{3}{7})}^{3}

\frac{3^{3}}{7^{3}}

‖

{(\frac{3}{7})}^{2}

\frac{3^{2}}{7^{2}}

⇥

- \frac{7 \cdot \frac{3^{3}}{7^{3}}}{3} + \frac{3 \cdot \frac{3^{2}}{7^{2}}}{2}

⇥ℹ

3^{3}

27

‖

7^{3}

343

‖

3^{2}

9

‖

7^{2}

49

⇥

- \frac{7 \cdot \frac{27}{343}}{3} + \frac{3 \cdot \frac{9}{49}}{2}

⇥ℹ

7 \cdot \frac{27}{343}

\frac{189}{343}

‖

3 \cdot \frac{9}{49}

\frac{27}{49}

⇥

- \frac{\frac{189}{343}}{3} + \frac{\frac{27}{49}}{2}

⇥

- \frac{27}{49} \cdot \frac{1}{3} + \frac{27}{49} \cdot \frac{1}{2}

⇥ℹ

- \frac{27}{49} \cdot \frac{1}{3}

- \frac{27}{147}

‖

\frac{27}{49} \cdot \frac{1}{2}

\frac{27}{98}

⇥

- \frac{27}{147} + \frac{27}{98}

⇥

\frac{- 27 \cdot 2 + 27 \cdot 3}{147 \cdot 2}

⇥ℹ

-27 \cdot 2

-54

‖

27 \cdot 3

81

‖

147 \cdot 2

294

⇥

\frac{- 54 + 81}{294}

⇥

\frac{27}{294}

⇥

\frac{9}{98}

L'aire sur

[0, \frac{3}{7}]

vaut

\frac{9}{98}

▶Aire :

\frac{9}{98}

2) La valeur numérique de :

\frac{9}{98}

est :

▷

\approx 9.1837 \times 10^{- 2}