aire entre x^2 et x — solution étape par étape

1) Considérons les deux courbes d'équations

y = x^{2}

y = x

Aux intersections,

x^{2}

x

. Soustrayons la seconde expression à la première :

x^{2} - x = 0

⇥1.1) Résolvons dans

ℝ

x^{2} - x = 0

⇥On peut écrire l'expression :

x^{2} - x

sous la forme factorisée :

x \cdot (x - 1)

⇥Un produit est nul si et seulement si l'un de ses facteurs est nul : on résout chaque facteur égal à 0

⇥⇥1.1.1) Résolvons dans

ℝ

x = 0

⇥⇥Solution obtenue :

x = 0

⇥⇥1.1.2) Résolvons dans

ℝ

x - 1 = 0

⇥⇥Solution trouvée :

x = 1

L'aire entre

x^{2}

x

sur

[0; 1]

est l'intégrale de la valeur absolue de leur différence

Aucune intersection intérieure : la différence garde son signe sur l'intervalle

Sur

[0; 1]

x

est au-dessus de

x^{2}

: intégrons

- x^{2} + x

⇥1.2) Intégrons :

\int_{0}^{1} (- x^{2} + x) d x

⇥ⅰ

\int (- x^{2} + x) d x

- \int x^{2} d x + \int x d x

⇥

- \int x^{2} d x + \int x d x

⇥ⓘ Une primitive de x^n est x^(n+1)/(n+1), pour n ≠ -1 :

- \int x^{2} d x

- \frac{x^{3}}{3}

\int x d x

\frac{x^{2}}{2}

▷

- \frac{x^{3}}{3} + \frac{x^{2}}{2}

⇥1.3) Évaluons pour l'intervalle

[0; 1]

(\frac{1^{2}}{2} - \frac{1^{3}}{3}) - (\frac{0^{2}}{2} - \frac{0^{3}}{3})

⇥ⓘ Pour additionner des fractions, on les met au même dénominateur puis on additionne les numérateurs. On choisit

6

, le plus petit commun multiple de

2

3

. Multiplier le numérateur et le dénominateur par un même nombre ne change pas la fraction :

\frac{1}{2} - \frac{1}{3}

\frac{1 \cdot 3}{2 \cdot 3} + \frac{-1 \cdot 2}{3 \cdot 2}

\frac{1 \cdot 3 - 1 \cdot 2}{2 \cdot 3}

\frac{3 - 1 \cdot 2}{2 \cdot 3}

■Un signe moins devant une parenthèse change le signe de chacun de ses termes :

- (\frac{0^{2}}{2} - \frac{0^{3}}{3})

- \frac{0^{2}}{2} + \frac{0^{3}}{3}

⇥

\frac{3 - 1 \cdot 2}{2 \cdot 3} - \frac{0^{2}}{2} + \frac{0^{3}}{3}

⇥ⓘ Les multiplications se font avant les additions et les soustractions :

1 \cdot 2

2

⇥ⅰ

2 \cdot 3

6

⇥

\frac{3 - 2}{6} + 0 + 0

⇥ⓘ Additionner 0 ne change rien :

\frac{3 - 2}{6} + 0 + 0

\frac{3 - 2}{6}

■Le numérateur et le dénominateur se calculent avant la division :

3 - 2

1

⇥

\frac{1}{6}

L'aire sur

[0; 1]

vaut

\frac{1}{6}

▶Aire :

\frac{1}{6}

2) La valeur numérique de :

\frac{1}{6}

vaut :

▷

\approx 0,1667