aire x=y^2-4y,x=2y-y^2 — solution étape par étape

⚠ 4y est lu comme le produit 4*y : pour une puissance, écrivez 4^y

⚠ 2y est lu comme le produit 2*y : pour une puissance, écrivez 2^y

x

est déjà isolé dans

x = y^{2} - 4 y

x

est déjà isolé dans

x = 2 y - y^{2}

Aux intersections,

y^{2} - 4 y

2 y - y^{2}

. Soustrayons la seconde expression à la première :

(y^{2} - 4 y) - (2 y - y^{2})

= 0, soit

2 y^{2} - 6 y = 0

⇥1.1) Résolvons dans

ℝ

2 y^{2} - 6 y = 0

⇥On peut factoriser l'expression :

2 y^{2} - 6 y

en :

y \cdot (2 y - 6)

⇥Solution obtenue :

y = 0

⇥1.2) Résolvons dans

ℝ

2 y - 6 = 0

⇥

2 y = 6

⇥

y = \frac{6}{2}

⇥Solution trouvée :

y = 3

L'aire entre

y^{2} - 4 y

2 y - y^{2}

sur

[0, 3]

est l'intégrale de la valeur absolue de leur différence

Aucune intersection intérieure : la différence garde son signe sur l'intervalle

Sur

[0, 3]

2 y - y^{2}

est au-dessus de

y^{2} - 4 y

: intégrons

- 2 y^{2} + 6 y

⇥1.3) Intégrons :

\int(- 2 y^{2} + 6 y)dy

⇥

- \int(2 y^{2})dy + \int(6 y)dy

⇥ℹ

- \int(2 y^{2})dy

- 2 \cdot \frac{y^{3}}{3}

‖

\int(6 y)dy

6 \cdot \frac{y^{2}}{2}

⇥

- 2 \cdot \frac{y^{3}}{3} + 6 \cdot \frac{y^{2}}{2}

⇥ℹ

- 2 \cdot \frac{y^{3}}{3}

- \frac{2 y^{3}}{3}

‖

6 \cdot \frac{y^{2}}{2}

\frac{6 y^{2}}{2}

‖

\frac{6 y^{2}}{2}

3 y^{2}

▷

- \frac{2 y^{3}}{3} + 3 y^{2}

⇥1.4) Evaluons pour l'intervalle

[0, 3]

(- \frac{2 \cdot 3^{3}}{3} + 3 \cdot 3^{2}) - (- \frac{2 \cdot 0^{3}}{3} + 3 \cdot 0^{2})

⇥ℹ

3^{3}

27

‖

3^{2}

9

‖

- (- \frac{2 \cdot 0^{3}}{3} + 3 \cdot 0^{2})

\frac{2 \cdot 0^{3}}{3} - 3 \cdot 0^{2}

⇥

- \frac{2 \cdot 27}{3}

+ 3 \cdot 9

+ \frac{2 \cdot 0^{3}}{3}

- 3 \cdot 0^{2}

⇥ℹ

2 \cdot 27

54

‖

3 \cdot 9

27

‖

2 \cdot 0

0

‖

-3 \cdot 0

0

⇥

- \frac{54}{3}

+ 27

+ 0

+ 0

⇥

- 18 + 27

⇥

9

L'aire sur

[0, 3]

vaut

9

▶Aire :

9