aire x=y^2,x=2y — solution étape par étape

1) Considérons les deux courbes d'équations

x = y^{2}

x = 2 y

Aux intersections,

y^{2}

2 y

. Soustrayons la seconde expression à la première :

y^{2} - 2 y = 0

⇥1.1) Résolvons dans

ℝ

y^{2} - 2 y = 0

⇥On peut mettre l'expression :

y^{2} - 2 y

en facteurs :

y \cdot (y - 2)

⇥Un produit est nul si et seulement si l'un de ses facteurs est nul : on résout chaque facteur égal à 0

⇥⇥1.1.1) Résolvons dans

ℝ

y = 0

⇥⇥Solution obtenue :

y = 0

⇥⇥1.1.2) Résolvons dans

ℝ

y - 2 = 0

⇥⇥Solution obtenue :

y = 2

L'aire entre

y^{2}

2 y

sur

[0; 2]

est l'intégrale de la valeur absolue de leur différence

Aucune intersection intérieure : la différence garde son signe sur l'intervalle

Sur

[0; 2]

2 y

est à droite de

y^{2}

: intégrons

- y^{2} + 2 y

par rapport à

y

⇥1.2) Intégrons :

\int_{0}^{2} (- y^{2} + 2 y) d y

⇥ⅰ

\int (- y^{2} + 2 y) d y

- \int y^{2} d y + \int 2 y d y

⇥

- \int y^{2} d y + \int 2 y d y

⇥ⓘ Une primitive de x^n est x^(n+1)/(n+1), pour n ≠ -1 :

- \int y^{2} d y

- \frac{y^{3}}{3}

■Un facteur constant se garde devant l'intégrale. Une primitive de x^n est x^(n+1)/(n+1), pour n ≠ -1 :

\int 2 y d y

2 \cdot \frac{y^{2}}{2}

⇥

- \frac{y^{3}}{3} + 2 \cdot \frac{y^{2}}{2}

⇥ⓘ Multiplier une fraction par un nombre revient à multiplier son numérateur :

2 \cdot \frac{y^{2}}{2}

\frac{2 y^{2}}{2}

■On simplifie une fraction en divisant le numérateur et le dénominateur par un même nombre :

\frac{2 y^{2}}{2}

y^{2}

▷

- \frac{y^{3}}{3} + y^{2}

⇥1.3) Évaluons pour l'intervalle

[0; 2]

(2^{2} - \frac{2^{3}}{3}) - (0^{2} - \frac{0^{3}}{3})

⇥ⓘ Les puissances se calculent avant les multiplications, les additions et les soustractions. Une puissance entière est un produit répété :

2^{2}

2 \cdot 2

4

2^{3}

2 \cdot 2 \cdot 2

8

■Un signe moins devant une parenthèse change le signe de chacun de ses termes :

- (0^{2} - \frac{0^{3}}{3})

- 0^{2} + \frac{0^{3}}{3}

⇥

4

- \frac{8}{3}

- 0^{2}

+ \frac{0^{3}}{3}

⇥ⓘ Pour additionner des fractions, on les met au même dénominateur puis on additionne les numérateurs :

4 - \frac{8}{3}

\frac{3 \cdot 4 - 8}{3}

■Additionner 0 ne change rien :

0 + 0

0

⇥

\frac{3 \cdot 4 - 8}{3} + 0

⇥ⓘ Additionner 0 ne change rien :

\frac{3 \cdot 4 - 8}{3} + 0

\frac{3 \cdot 4 - 8}{3}

■Les multiplications se font avant les additions et les soustractions :

3 \cdot 4

12

⇥

\frac{12 - 8}{3}

⇥ⓘ Le numérateur et le dénominateur se calculent avant la division :

12 - 8

4

⇥

\frac{4}{3}

L'aire sur

[0; 2]

vaut

\frac{4}{3}

▶Aire :

\frac{4}{3}

2) La valeur numérique de :

\frac{4}{3}

vaut :

▷

\approx 1,3333