aire x^2-2,0,-2,2 — solution étape par étape

1) L'aire entre

x^{2} - 2

0

sur

[-2; 2]

est l'intégrale de la valeur absolue de leur différence

Découpons l'intervalle aux intersections intérieures :

(-2; - \sqrt{2}; \sqrt{2}; 2)

Sur

[-2; - \sqrt{2}]

x^{2} - 2

est au-dessus de

0

: intégrons

x^{2} - 2

⇥1.1) Calculons l'intégrale :

\int_{-2}^{- \sqrt{2}} (x^{2} - 2) d x

⇥ⅰ

\int (x^{2} - 2) d x

\int x^{2} d x - \int 2 d x

⇥

\int x^{2} d x - \int 2 d x

⇥ⓘ Une primitive de x^n est x^(n+1)/(n+1), pour n ≠ -1 :

\int x^{2} d x

\frac{x^{3}}{3}

■La dérivée de

- 2 x

est

-2

, donc

- 2 x

est une primitive de

-2

- \int 2 d x

- 2 x

▷

\frac{x^{3}}{3} - 2 x

⇥1.2) Évaluons pour l'intervalle

[-2; - \sqrt{2}]

(\frac{{(- \sqrt{2})}^{3}}{3} - 2 \cdot (- \sqrt{2})) - (\frac{{(-2)}^{3}}{3} - 2 \cdot (-2))

⇥ⓘ Les puissances se calculent avant les multiplications, les additions et les soustractions. Avec un exposant entier pair, le signe moins dans la base disparaît ; avec un exposant entier impair, il passe devant la puissance :

{(- \sqrt{2})}^{3}

- {(\sqrt{2})}^{3}

■On extrait les signes moins : un nombre pair de signes moins s'annule, un nombre impair laisse un signe moins :

- 2 \cdot (- \sqrt{2})

2 \cdot \sqrt{2}

■Un signe moins devant une parenthèse change le signe de chacun de ses termes :

- (\frac{{(-2)}^{3}}{3} - 2 \cdot (-2))

- \frac{{(-2)}^{3}}{3} + 2 \cdot (-2)

⇥

- \frac{{(\sqrt{2})}^{3}}{3}

+ 2 \cdot \sqrt{2}

- \frac{{(-2)}^{3}}{3}

+ 2 \cdot (-2)

⇥ⓘ Une puissance de puissance multiplie les exposants, (a^n)^m = a^(n*m) :

{(\sqrt{2})}^{3}

2^{\frac{1}{2} \cdot 3}

■Les puissances se calculent avant les multiplications, les additions et les soustractions. Une puissance entière est un produit répété :

{(-2)}^{3}

(-2) \cdot (-2) \cdot (-2)

-8

■Les multiplications se font avant les additions et les soustractions. Un seul signe moins ne s'annule pas, le produit d'un nombre négatif par un nombre positif est négatif :

2 \cdot (-2)

-4

⇥

- \frac{2^{\frac{1}{2} \cdot 3}}{3}

+ 2 \cdot \sqrt{2}

- (\frac{-8}{3})

- 4

⇥ⓘ Multiplier une fraction par un nombre revient à multiplier son numérateur :

\frac{1}{2} \cdot 3

\frac{1 \cdot 3}{2}

\frac{3}{2}

■Deux signes moins s'annulent :

- (\frac{-8}{3})

\frac{8}{3}

⇥

- \frac{2^{\frac{3}{2}}}{3}

+ 2 \cdot \sqrt{2}

+ \frac{8}{3}

- 4

⇥ⓘ Les puissances se calculent avant les multiplications, les additions et les soustractions :

2^{\frac{3}{2}}

2 \cdot \sqrt{2}

■Pour additionner des fractions, on les met au même dénominateur puis on additionne les numérateurs :

\frac{8}{3} - 4

\frac{8 - 4 \cdot 3}{3}

⇥

- \frac{2 \cdot \sqrt{2}}{3} + 2 \cdot \sqrt{2} + \frac{8 - 4 \cdot 3}{3}

⇥ⓘ On regroupe les termes semblables en additionnant leurs coefficients :

- \frac{2 \cdot \sqrt{2}}{3} + 2 \cdot \sqrt{2}

\frac{4 \cdot \sqrt{2}}{3}

■Les multiplications se font avant les additions et les soustractions :

4 \cdot 3

12

⇥

\frac{4 \cdot \sqrt{2}}{3} + \frac{8 - 12}{3}

⇥ⓘ Le numérateur et le dénominateur se calculent avant la division :

8 - 12

-4

⇥

\frac{4 \cdot \sqrt{2}}{3} - \frac{4}{3}

⇥ⓘ Pour additionner des fractions, on les met au même dénominateur puis on additionne les numérateurs :

\frac{4 \cdot \sqrt{2}}{3} - \frac{4}{3}

\frac{4 \cdot \sqrt{2} - 4}{3}

⇥

\frac{4 \cdot \sqrt{2} - 4}{3}

L'aire sur

[-2; - \sqrt{2}]

vaut

\frac{4 \cdot \sqrt{2} - 4}{3}

Sur

[- \sqrt{2}; \sqrt{2}]

0

est au-dessus de

x^{2} - 2

: intégrons

- x^{2} + 2

⇥1.3) Calculons l'intégrale :

\int_{- \sqrt{2}}^{\sqrt{2}} (- x^{2} + 2) d x

⇥ⅰ

\int (- x^{2} + 2) d x

- \int x^{2} d x + \int 2 d x

⇥

- \int x^{2} d x + \int 2 d x

⇥ⓘ Une primitive de x^n est x^(n+1)/(n+1), pour n ≠ -1 :

- \int x^{2} d x

- \frac{x^{3}}{3}

■La dérivée de

2 x

est

2

, donc

2 x

est une primitive de

2

\int 2 d x

2 x

▷

- \frac{x^{3}}{3} + 2 x

⇥1.4) Évaluons sur l'intervalle

[- \sqrt{2}; \sqrt{2}]

(2 \cdot \sqrt{2} - \frac{{(\sqrt{2})}^{3}}{3}) - (2 \cdot (- \sqrt{2}) - \frac{{(- \sqrt{2})}^{3}}{3})

⇥ⓘ Une puissance de puissance multiplie les exposants, (a^n)^m = a^(n*m) :

{(\sqrt{2})}^{3}

2^{\frac{1}{2} \cdot 3}

■Un signe moins devant une parenthèse change le signe de chacun de ses termes :

- (2 \cdot (- \sqrt{2}) - \frac{{(- \sqrt{2})}^{3}}{3})

- 2 \cdot (- \sqrt{2}) + \frac{{(- \sqrt{2})}^{3}}{3}

⇥

2 \cdot \sqrt{2}

- \frac{2^{\frac{1}{2} \cdot 3}}{3}

- 2 \cdot (- \sqrt{2})

+ \frac{{(- \sqrt{2})}^{3}}{3}

⇥ⓘ Multiplier une fraction par un nombre revient à multiplier son numérateur :

\frac{1}{2} \cdot 3

\frac{1 \cdot 3}{2}

\frac{3}{2}

■Deux signes moins s'annulent :

-2 \cdot (- \sqrt{2})

2 \cdot \sqrt{2}

■Pour additionner des fractions, on les met au même dénominateur puis on additionne les numérateurs :

- \frac{2^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{{(- \sqrt{2})}^{3}}{3}

\frac{- 2^{\frac{3}{2}} + {(- \sqrt{2})}^{3}}{3}

⇥

2 \cdot \sqrt{2} + \frac{- 2^{\frac{3}{2}} + {(- \sqrt{2})}^{3}}{3} + 2 \cdot \sqrt{2}

⇥ⓘ Sans parenthèses, le signe moins ne fait pas partie de la puissance :

- 2^{\frac{3}{2}}

- 2 \cdot \sqrt{2}

■On regroupe les termes semblables en additionnant leurs coefficients :

2 \cdot \sqrt{2} + 2 \cdot \sqrt{2}

4 \cdot \sqrt{2}

■Les puissances se calculent avant les multiplications, les additions et les soustractions. Avec un exposant entier pair, le signe moins dans la base disparaît ; avec un exposant entier impair, il passe devant la puissance :

{(- \sqrt{2})}^{3}

- {(\sqrt{2})}^{3}

⇥

4 \cdot \sqrt{2} + \frac{- 2 \cdot \sqrt{2} - {(\sqrt{2})}^{3}}{3}

⇥ⓘ On met le signe moins en facteur, en changeant le signe de chaque terme :

- 2 \cdot \sqrt{2} - {(\sqrt{2})}^{3}

- (2 \cdot \sqrt{2} + {(\sqrt{2})}^{3})

⇥

4 \cdot \sqrt{2} - \frac{2 \cdot \sqrt{2} + {(\sqrt{2})}^{3}}{3}

⇥ⅰ

4 \cdot \sqrt{2} - \frac{2 \cdot \sqrt{2} + {(\sqrt{2})}^{3}}{3}

\frac{3 \cdot 4 \cdot \sqrt{2} - (2 \cdot \sqrt{2} + {(\sqrt{2})}^{3})}{3}

⇥

\frac{3 \cdot 4 \cdot \sqrt{2} - (2 \cdot \sqrt{2} + {(\sqrt{2})}^{3})}{3}

⇥ⓘ Les multiplications se font avant les additions et les soustractions :

3 \cdot 4

12

■Un signe moins devant une parenthèse change le signe de chacun de ses termes :

- (2 \cdot \sqrt{2} + {(\sqrt{2})}^{3})

- 2 \cdot \sqrt{2} - {(\sqrt{2})}^{3}

⇥

\frac{12 \cdot \sqrt{2} - 2 \cdot \sqrt{2} - {(\sqrt{2})}^{3}}{3}

⇥ⓘ On regroupe les termes semblables en additionnant leurs coefficients :

12 \cdot \sqrt{2} - 2 \cdot \sqrt{2}

10 \cdot \sqrt{2}

■Une puissance de puissance multiplie les exposants, (a^n)^m = a^(n*m) :

{(\sqrt{2})}^{3}

2^{\frac{1}{2} \cdot 3}

⇥

\frac{10 \cdot \sqrt{2} - 2^{\frac{1}{2} \cdot 3}}{3}

⇥ⓘ Multiplier une fraction par un nombre revient à multiplier son numérateur :

\frac{1}{2} \cdot 3

\frac{1 \cdot 3}{2}

\frac{3}{2}

■On met en facteur ce qui est commun aux termes, pour pouvoir simplifier la fraction :

\frac{10 \cdot \sqrt{2} - 2^{\frac{3}{2}}}{3}

\frac{2 \cdot \sqrt{2} \cdot (5 - 1)}{3}

⇥

\frac{2 \cdot \sqrt{2} \cdot (5 - 1)}{3}

⇥ⓘ Les parenthèses se calculent en premier :

5 - 1

4

⇥

\frac{2 \cdot \sqrt{2} \cdot 4}{3}

⇥ⅰ

2 \cdot 4

8

⇥

\frac{8 \cdot \sqrt{2}}{3}

L'aire sur

[- \sqrt{2}; \sqrt{2}]

vaut

\frac{8 \cdot \sqrt{2}}{3}

Sur

[\sqrt{2}; 2]

x^{2} - 2

est au-dessus de

0

: intégrons

x^{2} - 2

⇥1.5) Intégrons :

\int_{\sqrt{2}}^{2} (x^{2} - 2) d x

⇥ⅰ

\int (x^{2} - 2) d x

\int x^{2} d x - \int 2 d x

⇥

\int x^{2} d x - \int 2 d x

⇥ⓘ Une primitive de x^n est x^(n+1)/(n+1), pour n ≠ -1 :

\int x^{2} d x

\frac{x^{3}}{3}

■La dérivée de

- 2 x

est

-2

, donc

- 2 x

est une primitive de

-2

- \int 2 d x

- 2 x

▷

\frac{x^{3}}{3} - 2 x

⇥1.6) Évaluons sur l'intervalle

[\sqrt{2}; 2]

(\frac{2^{3}}{3} - 2 \cdot 2) - (\frac{{(\sqrt{2})}^{3}}{3} - 2 \cdot \sqrt{2})

⇥ⓘ Les puissances se calculent avant les multiplications, les additions et les soustractions. Une puissance entière est un produit répété :

2^{3}

2 \cdot 2 \cdot 2

8

■Les multiplications se font avant les additions et les soustractions :

2 \cdot 2

4

■Un signe moins devant une parenthèse change le signe de chacun de ses termes :

- (\frac{{(\sqrt{2})}^{3}}{3} - 2 \cdot \sqrt{2})

- \frac{{(\sqrt{2})}^{3}}{3} + 2 \cdot \sqrt{2}

⇥

\frac{8}{3}

- 4

- \frac{{(\sqrt{2})}^{3}}{3}

+ 2 \cdot \sqrt{2}

⇥ⓘ Pour additionner des fractions, on les met au même dénominateur puis on additionne les numérateurs :

\frac{8}{3} - 4

\frac{8 - 4 \cdot 3}{3}

■Une puissance de puissance multiplie les exposants, (a^n)^m = a^(n*m) :

{(\sqrt{2})}^{3}

2^{\frac{1}{2} \cdot 3}

⇥

\frac{8 - 4 \cdot 3}{3} - \frac{2^{\frac{1}{2} \cdot 3}}{3} + 2 \cdot \sqrt{2}

⇥ⓘ Les multiplications se font avant les additions et les soustractions :

4 \cdot 3

12

■Multiplier une fraction par un nombre revient à multiplier son numérateur :

\frac{1}{2} \cdot 3

\frac{1 \cdot 3}{2}

\frac{3}{2}

⇥

\frac{8 - 12}{3} - \frac{2^{\frac{3}{2}}}{3} + 2 \cdot \sqrt{2}

⇥ⓘ Le numérateur et le dénominateur se calculent avant la division :

8 - 12

-4

■Les puissances se calculent avant les multiplications, les additions et les soustractions :

2^{\frac{3}{2}}

2 \cdot \sqrt{2}

⇥

- \frac{4}{3} - \frac{2 \cdot \sqrt{2}}{3} + 2 \cdot \sqrt{2}

⇥ⓘ On regroupe les termes semblables en additionnant leurs coefficients :

- \frac{2 \cdot \sqrt{2}}{3} + 2 \cdot \sqrt{2}

\frac{4 \cdot \sqrt{2}}{3}

⇥

- \frac{4}{3} + \frac{4 \cdot \sqrt{2}}{3}

⇥ⓘ Pour additionner des fractions, on les met au même dénominateur puis on additionne les numérateurs :

- \frac{4}{3} + \frac{4 \cdot \sqrt{2}}{3}

\frac{- 4 + 4 \cdot \sqrt{2}}{3}

⇥

\frac{- 4 + 4 \cdot \sqrt{2}}{3}

⇥

\frac{4 \cdot \sqrt{2} - 4}{3}

L'aire sur

[\sqrt{2}; 2]

vaut

\frac{4 \cdot \sqrt{2} - 4}{3}

⇥

\frac{4 \cdot \sqrt{2} - 4}{3} + \frac{8 \cdot \sqrt{2}}{3} + \frac{4 \cdot \sqrt{2} - 4}{3}

⇥ⓘ On regroupe les termes semblables en additionnant leurs coefficients :

\frac{4 \cdot \sqrt{2} - 4}{3} + \frac{4 \cdot \sqrt{2} - 4}{3}

\frac{2 \cdot (4 \cdot \sqrt{2} - 4)}{3}

⇥

\frac{2 \cdot (4 \cdot \sqrt{2} - 4)}{3} + \frac{8 \cdot \sqrt{2}}{3}

⇥ⓘ Pour additionner des fractions, on les met au même dénominateur puis on additionne les numérateurs :

\frac{2 \cdot (4 \cdot \sqrt{2} - 4)}{3} + \frac{8 \cdot \sqrt{2}}{3}

\frac{2 \cdot (4 \cdot \sqrt{2} - 4) + 8 \cdot \sqrt{2}}{3}

⇥

\frac{2 \cdot (4 \cdot \sqrt{2} - 4) + 8 \cdot \sqrt{2}}{3}

⇥ⓘ On développe en multipliant chaque terme de la parenthèse :

2 \cdot (4 \cdot \sqrt{2} - 4)

8 \cdot \sqrt{2} - 8

⇥

\frac{8 \cdot \sqrt{2} - 8 + 8 \cdot \sqrt{2}}{3}

ⓘ On regroupe les termes semblables en additionnant leurs coefficients :

8 \cdot \sqrt{2} + 8 \cdot \sqrt{2}

16 \cdot \sqrt{2}

▶Aire :

\frac{16 \cdot \sqrt{2} - 8}{3}

2) La valeur numérique de :

\frac{16 \cdot \sqrt{2} - 8}{3}

est :

\frac{16 \cdot \approx 1,4142 - 8}{3}

\frac{\approx 22,6274 - 8}{3}

\frac{\approx 14,6274}{3}

▷

\approx 4,8758