aire x^2-2x,x+4 — solution étape par étape

1) Considérons les deux courbes d'équations

y = x^{2} - 2 x

y = x + 4

Aux intersections,

x^{2} - 2 x

x + 4

. Soustrayons la seconde expression à la première :

(x^{2} - 2 x) - (x + 4)

= 0, soit

x^{2} - 3 x - 4 = 0

⇥1.1) Résolvons dans

ℝ

x^{2} - 3 x - 4 = 0

⇥Vu la forme quadratique

a x^{2} + b x + c

, on calcule le discriminant :

Δ = b^{2} - 4 a c

. Ici

a = 1

b = -3

c = -4

⇥

Δ = {(-3)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (-4)

⇥ⓘ Les puissances se calculent avant les multiplications, les additions et les soustractions. Une puissance entière est un produit répété :

{(-3)}^{2}

(-3) \cdot (-3)

9

⇥

Δ = 9 - 4 \cdot (-4)

⇥ⓘ Les multiplications se font avant les additions et les soustractions. Deux signes moins s'annulent, le produit de deux nombres négatifs est positif :

- 4 \cdot (-4)

16

⇥

Δ = 9 + 16

⇥ⓘ On part de

9

et on avance de

16

sur la droite des nombres :

9 + 16

25

⇥

Δ = 25

⇥Comme

Δ > 0

, l'équation a deux racines :

⇥La formule du second degré donne

x_{1}

\frac{- b - \sqrt{Δ}}{2 a}

\frac{- (-3) - \sqrt{25}}{2 \cdot 1}

⇥

x_{1} = \frac{3 - \sqrt{25}}{2}

⇥ⓘ La racine carrée d'un nombre est le nombre positif dont le carré vaut ce nombre :

\sqrt{25}

5

;

5^{2}

25

⇥

x_{1} = \frac{3 - 5}{2}

⇥ⓘ Le numérateur et le dénominateur se calculent avant la division :

3 - 5

-2

⇥

x_{1} = - \frac{2}{2}

⇥ⓘ On simplifie la fraction en divisant le numérateur et le dénominateur par

2

, leur plus grand diviseur commun :

- \frac{2}{2}

-1

⇥

x_{1} = -1

⇥La formule du second degré donne

x_{2}

\frac{- b + \sqrt{Δ}}{2 a}

\frac{- (-3) + \sqrt{25}}{2 \cdot 1}

⇥

x_{2} = \frac{3 + \sqrt{25}}{2}

⇥ⓘ La racine carrée d'un nombre est le nombre positif dont le carré vaut ce nombre :

\sqrt{25}

5

;

5^{2}

25

⇥

x_{2} = \frac{3 + 5}{2}

⇥ⓘ Le numérateur et le dénominateur se calculent avant la division :

3 + 5

8

⇥

x_{2} = \frac{8}{2}

⇥ⓘ On simplifie la fraction en divisant le numérateur et le dénominateur par

2

, leur plus grand diviseur commun :

\frac{8}{2}

4

⇥

x_{2} = 4

⇥Solutions trouvées :

x = {-1; 4}

L'aire entre

x^{2} - 2 x

x + 4

sur

[-1; 4]

est l'intégrale de la valeur absolue de leur différence

Aucune intersection intérieure : la différence garde son signe sur l'intervalle

Sur

[-1; 4]

x + 4

est au-dessus de

x^{2} - 2 x

: intégrons

- x^{2} + 3 x + 4

⇥1.2) Intégrons :

\int_{-1}^{4} (- x^{2} + 3 x + 4) d x

⇥ⅰ

\int (- x^{2} + 3 x + 4) d x

- \int x^{2} d x + \int 3 x d x + \int 4 d x

⇥

- \int x^{2} d x + \int 3 x d x + \int 4 d x

⇥ⓘ Une primitive de x^n est x^(n+1)/(n+1), pour n ≠ -1 :

- \int x^{2} d x

- \frac{x^{3}}{3}

■Un facteur constant se garde devant l'intégrale. Une primitive de x^n est x^(n+1)/(n+1), pour n ≠ -1 :

\int 3 x d x

3 \cdot \frac{x^{2}}{2}

■La dérivée de

4 x

est

4

, donc

4 x

est une primitive de

4

\int 4 d x

4 x

⇥

- \frac{x^{3}}{3} + 3 \cdot \frac{x^{2}}{2} + 4 x

⇥ⓘ Multiplier une fraction par un nombre revient à multiplier son numérateur :

3 \cdot \frac{x^{2}}{2}

\frac{3 x^{2}}{2}

▷

- \frac{x^{3}}{3} + \frac{3 x^{2}}{2} + 4 x

⇥1.3) Évaluons sur l'intervalle

[-1; 4]

(- \frac{4^{3}}{3} + \frac{3 \cdot 4^{2}}{2} + 4 \cdot 4) - (- \frac{{(-1)}^{3}}{3} + \frac{3 \cdot {(-1)}^{2}}{2} + 4 \cdot (-1))

⇥ⓘ Les puissances se calculent avant les multiplications, les additions et les soustractions. Une puissance entière est un produit répété :

4^{3}

4 \cdot 4 \cdot 4

64

4^{2}

4 \cdot 4

16

■Les multiplications se font avant les additions et les soustractions :

4 \cdot 4

16

■Un signe moins devant une parenthèse change le signe de chacun de ses termes :

- (- \frac{{(-1)}^{3}}{3} + \frac{3 \cdot {(-1)}^{2}}{2} + 4 \cdot (-1))

\frac{{(-1)}^{3}}{3} - \frac{3 \cdot {(-1)}^{2}}{2} - 4 \cdot (-1)

⇥

- \frac{64}{3}

+ \frac{3 \cdot 16}{2}

+ 16

+ \frac{{(-1)}^{3}}{3}

- \frac{3 \cdot {(-1)}^{2}}{2}

- 4 \cdot (-1)

⇥ⓘ Les puissances se calculent avant les multiplications, les additions et les soustractions. Une puissance entière est un produit répété :

{(-1)}^{3}

(-1) \cdot (-1) \cdot (-1)

-1

{(-1)}^{2}

(-1) \cdot (-1)

1

■Multiplier par 1 ne change rien :

3 \cdot 1

3

■Les multiplications se font avant les additions et les soustractions. Deux signes moins s'annulent, le produit de deux nombres négatifs est positif :

-4 \cdot (-1)

4

⇥ⅰ

3 \cdot 16

3 \cdot (10 + 6)

3 \cdot 10 + 3 \cdot 6

30 + 18

48

⇥

- \frac{64}{3}

+ \frac{48}{2}

+ 16

- \frac{1}{3}

- \frac{3}{2}

+ 4

⇥ⓘ Pour additionner des fractions, on les met au même dénominateur puis on additionne les numérateurs. On choisit

6

, le plus petit commun multiple de

3

2

. Multiplier le numérateur et le dénominateur par un même nombre ne change pas la fraction :

- \frac{64}{3} + \frac{48}{2}

\frac{-64 \cdot 2}{3 \cdot 2} + \frac{48 \cdot 3}{2 \cdot 3}

\frac{- 64 \cdot 2 + 48 \cdot 3}{3 \cdot 2}

⇥

\frac{- 64 \cdot 2 + 48 \cdot 3}{3 \cdot 2}

+ 16

- \frac{1}{3}

- \frac{3}{2}

+ 4

⇥ⓘ Les multiplications se font avant les additions et les soustractions :

64 \cdot 2

(60 + 4) \cdot 2

60 \cdot 2 + 4 \cdot 2

120 + 8

128

48 \cdot 3

(40 + 8) \cdot 3

40 \cdot 3 + 8 \cdot 3

120 + 24

144

■Pour additionner des fractions, on les met au même dénominateur puis on additionne les numérateurs :

16 - \frac{1}{3}

\frac{3 \cdot 16 - 1}{3}

⇥ⅰ

3 \cdot 2

6

⇥

\frac{- 128 + 144}{6}

+ \frac{3 \cdot 16 - 1}{3}

- \frac{3}{2}

+ 4

⇥ⓘ Le numérateur et le dénominateur se calculent avant la division :

- 128 + 144

16

■Les multiplications se font avant les additions et les soustractions :

3 \cdot 16

3 \cdot (10 + 6)

3 \cdot 10 + 3 \cdot 6

30 + 18

48

■Pour additionner des fractions, on les met au même dénominateur puis on additionne les numérateurs :

- \frac{3}{2} + 4

\frac{- 3 + 4 \cdot 2}{2}

⇥

\frac{16}{6} + \frac{48 - 1}{3} + \frac{- 3 + 4 \cdot 2}{2}

⇥ⓘ On simplifie la fraction en divisant le numérateur et le dénominateur par

2

, leur plus grand diviseur commun :

\frac{16}{6}

\frac{8 \cdot 2}{3 \cdot 2}

\frac{8}{3}

■Le numérateur et le dénominateur se calculent avant la division :

48 - 1

47

■Les multiplications se font avant les additions et les soustractions :

4 \cdot 2

8

⇥

\frac{8}{3} + \frac{47}{3} + \frac{- 3 + 8}{2}

⇥ⓘ Pour additionner des fractions, on les met au même dénominateur puis on additionne les numérateurs :

\frac{8}{3} + \frac{47}{3}

\frac{8 + 47}{3}

■Le numérateur et le dénominateur se calculent avant la division :

- 3 + 8

5

⇥

\frac{8 + 47}{3} + \frac{5}{2}

⇥ⓘ Le numérateur et le dénominateur se calculent avant la division :

8 + 47

55

⇥

\frac{55}{3} + \frac{5}{2}

⇥ⓘ Pour additionner des fractions, on les met au même dénominateur puis on additionne les numérateurs. On choisit

6

, le plus petit commun multiple de

3

2

. Multiplier le numérateur et le dénominateur par un même nombre ne change pas la fraction :

\frac{55}{3} + \frac{5}{2}

\frac{55 \cdot 2}{3 \cdot 2} + \frac{5 \cdot 3}{2 \cdot 3}

\frac{55 \cdot 2 + 5 \cdot 3}{3 \cdot 2}

⇥

\frac{55 \cdot 2 + 5 \cdot 3}{3 \cdot 2}

⇥ⓘ Les multiplications se font avant les additions et les soustractions :

55 \cdot 2

(50 + 5) \cdot 2

50 \cdot 2 + 5 \cdot 2

100 + 10

110

5 \cdot 3

15

⇥ⅰ

3 \cdot 2

6

⇥

\frac{110 + 15}{6}

⇥ⓘ Le numérateur et le dénominateur se calculent avant la division :

110 + 15

125

⇥

\frac{125}{6}

L'aire sur

[-1; 4]

vaut

\frac{125}{6}

▶Aire :

\frac{125}{6}

2) La valeur numérique de :

\frac{125}{6}

est :

▷

\approx 20,8333