aire x^2,0,-1,1 — solution étape par étape

1) L'aire entre

x^{2}

0

sur

[-1; 1]

est l'intégrale de la valeur absolue de leur différence

Découpons l'intervalle aux intersections intérieures :

(-1; 0; 1)

Sur

[-1; 0]

x^{2}

est au-dessus de

0

: intégrons

x^{2}

⇥1.1) Intégrons :

\int_{-1}^{0} x^{2} d x

⇥ⓘ Une primitive de x^n est x^(n+1)/(n+1), pour n ≠ -1 :

\int x^{2} d x

\frac{x^{3}}{3}

▷

\frac{x^{3}}{3}

⇥1.2) Évaluons pour l'intervalle

[-1; 0]

\frac{0^{3}}{3} - \frac{{(-1)}^{3}}{3}

⇥ⓘ Les puissances se calculent avant les multiplications, les additions et les soustractions. Une puissance entière est un produit répété :

{(-1)}^{3}

(-1) \cdot (-1) \cdot (-1)

-1

⇥

0 - (\frac{-1}{3})

⇥ⓘ Additionner 0 ne change rien :

0 - (\frac{-1}{3})

- (\frac{-1}{3})

■Deux signes moins s'annulent :

- (\frac{-1}{3})

\frac{1}{3}

⇥

\frac{1}{3}

L'aire sur

[-1; 0]

vaut

\frac{1}{3}

Sur

[0; 1]

x^{2}

est au-dessus de

0

: intégrons

x^{2}

⇥1.3) Intégrons :

\int_{0}^{1} x^{2} d x

⇥ⓘ Une primitive de x^n est x^(n+1)/(n+1), pour n ≠ -1 :

\int x^{2} d x

\frac{x^{3}}{3}

▷

\frac{x^{3}}{3}

⇥1.4) Évaluons sur l'intervalle

[0; 1]

\frac{1^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}

⇥

\frac{1}{3} + 0

⇥ⓘ Additionner 0 ne change rien :

\frac{1}{3} + 0

\frac{1}{3}

⇥

\frac{1}{3}

L'aire sur

[0; 1]

vaut

\frac{1}{3}

⇥

\frac{1}{3} + \frac{1}{3}

⇥ⓘ Pour additionner des fractions, on les met au même dénominateur puis on additionne les numérateurs :

\frac{1}{3} + \frac{1}{3}

\frac{1 + 1}{3}

⇥

\frac{1 + 1}{3}

ⓘ Le numérateur et le dénominateur se calculent avant la division :

1 + 1

2

▶Aire :

\frac{2}{3}

2) La valeur numérique de :

\frac{2}{3}

vaut :

▷

\approx 0,6667