aire x^2,1,-2,2 — solution étape par étape

1) L'aire entre

x^{2}

1

sur

[-2; 2]

est l'intégrale de la valeur absolue de leur différence

Découpons l'intervalle aux intersections intérieures :

(-2; -1; 1; 2)

Sur

[-2; -1]

x^{2}

est au-dessus de

1

: intégrons

x^{2} - 1

⇥1.1) Calculons l'intégrale :

\int_{-2}^{-1} (x^{2} - 1) d x

⇥ⅰ

\int (x^{2} - 1) d x

\int x^{2} d x - \int 1 d x

⇥

\int x^{2} d x - \int 1 d x

⇥ⓘ Une primitive de x^n est x^(n+1)/(n+1), pour n ≠ -1 :

\int x^{2} d x

\frac{x^{3}}{3}

■La dérivée de

- x

est

-1

, donc

- x

est une primitive de

-1

- \int 1 d x

- x

▷

\frac{x^{3}}{3} - x

⇥1.2) Évaluons pour l'intervalle

[-2; -1]

(\frac{{(-1)}^{3}}{3} + 1) - (\frac{{(-2)}^{3}}{3} + 2)

⇥ⓘ Les puissances se calculent avant les multiplications, les additions et les soustractions. Une puissance entière est un produit répété :

{(-1)}^{3}

(-1) \cdot (-1) \cdot (-1)

-1

■Un signe moins devant une parenthèse change le signe de chacun de ses termes :

- (\frac{{(-2)}^{3}}{3} + 2)

- \frac{{(-2)}^{3}}{3} - 2

⇥

- \frac{1}{3}

+ 1

- \frac{{(-2)}^{3}}{3}

- 2

⇥ⓘ Pour additionner des fractions, on les met au même dénominateur puis on additionne les numérateurs :

- \frac{1}{3} + 1

\frac{- 1 + 3}{3}

■Les puissances se calculent avant les multiplications, les additions et les soustractions. Une puissance entière est un produit répété :

{(-2)}^{3}

(-2) \cdot (-2) \cdot (-2)

-8

⇥

\frac{- 1 + 3}{3} - (\frac{-8}{3}) - 2

⇥ⓘ Le numérateur et le dénominateur se calculent avant la division :

- 1 + 3

2

■Deux signes moins s'annulent :

- (\frac{-8}{3})

\frac{8}{3}

⇥

\frac{2}{3} + \frac{8}{3} - 2

⇥ⓘ Pour additionner des fractions, on les met au même dénominateur puis on additionne les numérateurs :

\frac{2}{3} + \frac{8}{3}

\frac{2 + 8}{3}

⇥

\frac{2 + 8}{3} - 2

⇥ⓘ Le numérateur et le dénominateur se calculent avant la division :

2 + 8

10

⇥

\frac{10}{3} - 2

⇥ⓘ Pour additionner des fractions, on les met au même dénominateur puis on additionne les numérateurs :

\frac{10}{3} - 2

\frac{10 - 2 \cdot 3}{3}

⇥

\frac{10 - 2 \cdot 3}{3}

⇥ⓘ Les multiplications se font avant les additions et les soustractions :

2 \cdot 3

6

⇥

\frac{10 - 6}{3}

⇥ⓘ Le numérateur et le dénominateur se calculent avant la division :

10 - 6

4

⇥

\frac{4}{3}

L'aire sur

[-2; -1]

vaut

\frac{4}{3}

Sur

[-1; 1]

1

est au-dessus de

x^{2}

: intégrons

- x^{2} + 1

⇥1.3) Calculons l'intégrale :

\int_{-1}^{1} (- x^{2} + 1) d x

⇥ⅰ

\int (- x^{2} + 1) d x

- \int x^{2} d x + \int 1 d x

⇥

- \int x^{2} d x + \int 1 d x

⇥ⓘ Une primitive de x^n est x^(n+1)/(n+1), pour n ≠ -1 :

- \int x^{2} d x

- \frac{x^{3}}{3}

■La dérivée de

x

est

1

, donc

x

est une primitive de

1

\int 1 d x

x

▷

- \frac{x^{3}}{3} + x

⇥1.4) Évaluons sur l'intervalle

[-1; 1]

(1 - \frac{1^{3}}{3}) - (- 1 - \frac{{(-1)}^{3}}{3})

⇥ⓘ Pour additionner des fractions, on les met au même dénominateur puis on additionne les numérateurs :

1 - \frac{1}{3}

\frac{3 - 1}{3}

■Un signe moins devant une parenthèse change le signe de chacun de ses termes :

- (- 1 - \frac{{(-1)}^{3}}{3})

1 + \frac{{(-1)}^{3}}{3}

⇥

\frac{3 - 1}{3} + 1 + \frac{{(-1)}^{3}}{3}

⇥ⓘ Le numérateur et le dénominateur se calculent avant la division :

3 - 1

2

■Les puissances se calculent avant les multiplications, les additions et les soustractions. Une puissance entière est un produit répété :

{(-1)}^{3}

(-1) \cdot (-1) \cdot (-1)

-1

⇥

\frac{2}{3} + 1 - \frac{1}{3}

⇥ⓘ Pour additionner des fractions, on les met au même dénominateur puis on additionne les numérateurs :

\frac{2}{3} + 1

\frac{2 + 3}{3}

⇥

\frac{2 + 3}{3} - \frac{1}{3}

⇥ⓘ Le numérateur et le dénominateur se calculent avant la division :

2 + 3

5

⇥

\frac{5}{3} - \frac{1}{3}

⇥ⓘ Pour additionner des fractions, on les met au même dénominateur puis on additionne les numérateurs :

\frac{5}{3} - \frac{1}{3}

\frac{5 - 1}{3}

⇥

\frac{5 - 1}{3}

⇥ⓘ Le numérateur et le dénominateur se calculent avant la division :

5 - 1

4

⇥

\frac{4}{3}

L'aire sur

[-1; 1]

vaut

\frac{4}{3}

Sur

[1; 2]

x^{2}

est au-dessus de

1

: intégrons

x^{2} - 1

⇥1.5) Intégrons :

\int_{1}^{2} (x^{2} - 1) d x

⇥ⅰ

\int (x^{2} - 1) d x

\int x^{2} d x - \int 1 d x

⇥

\int x^{2} d x - \int 1 d x

⇥ⓘ Une primitive de x^n est x^(n+1)/(n+1), pour n ≠ -1 :

\int x^{2} d x

\frac{x^{3}}{3}

■La dérivée de

- x

est

-1

, donc

- x

est une primitive de

-1

- \int 1 d x

- x

▷

\frac{x^{3}}{3} - x

⇥1.6) Évaluons sur l'intervalle

[1; 2]

(\frac{2^{3}}{3} - 2) - (\frac{1^{3}}{3} - 1)

⇥ⓘ Les puissances se calculent avant les multiplications, les additions et les soustractions. Une puissance entière est un produit répété :

2^{3}

2 \cdot 2 \cdot 2

8

■Un signe moins devant une parenthèse change le signe de chacun de ses termes :

- (\frac{1^{3}}{3} - 1)

- \frac{1^{3}}{3} + 1

⇥

\frac{8}{3}

- 2

- \frac{1^{3}}{3}

+ 1

⇥ⓘ Pour additionner des fractions, on les met au même dénominateur puis on additionne les numérateurs :

\frac{8}{3} - 2

\frac{8 - 2 \cdot 3}{3}

⇥

\frac{8 - 2 \cdot 3}{3} - \frac{1}{3} + 1

⇥ⓘ Les multiplications se font avant les additions et les soustractions :

2 \cdot 3

6

■Pour additionner des fractions, on les met au même dénominateur puis on additionne les numérateurs :

- \frac{1}{3} + 1

\frac{- 1 + 3}{3}

⇥

\frac{8 - 6}{3} + \frac{- 1 + 3}{3}

⇥ⓘ Le numérateur et le dénominateur se calculent avant la division :

8 - 6

2

- 1 + 3

2

⇥

\frac{2}{3} + \frac{2}{3}

⇥ⓘ Pour additionner des fractions, on les met au même dénominateur puis on additionne les numérateurs :

\frac{2}{3} + \frac{2}{3}

\frac{2 + 2}{3}

⇥

\frac{2 + 2}{3}

⇥ⓘ Le numérateur et le dénominateur se calculent avant la division :

2 + 2

4

⇥

\frac{4}{3}

L'aire sur

[1; 2]

vaut

\frac{4}{3}

⇥

\frac{4}{3} + \frac{4}{3} + \frac{4}{3}

⇥ⓘ Pour additionner des fractions, on les met au même dénominateur puis on additionne les numérateurs :

\frac{4}{3} + \frac{4}{3}

\frac{4 + 4}{3}

⇥

\frac{4 + 4}{3} + \frac{4}{3}

⇥ⓘ Le numérateur et le dénominateur se calculent avant la division :

4 + 4

8

⇥

\frac{8}{3} + \frac{4}{3}

⇥ⓘ Pour additionner des fractions, on les met au même dénominateur puis on additionne les numérateurs :

\frac{8}{3} + \frac{4}{3}

\frac{8 + 4}{3}

⇥

\frac{8 + 4}{3}

⇥ⓘ Le numérateur et le dénominateur se calculent avant la division :

8 + 4

12

⇥

\frac{12}{3}

ⓘ On simplifie la fraction en divisant le numérateur et le dénominateur par

3

, leur plus grand diviseur commun :

\frac{12}{3}

4

▶Aire :

4