aire x,0,-1,1 — solution étape par étape

1) L'aire entre

x

0

sur

[-1; 1]

est l'intégrale de la valeur absolue de leur différence

Découpons l'intervalle aux intersections intérieures :

(-1; 0; 1)

Sur

[-1; 0]

0

est au-dessus de

x

: intégrons

- x

⇥1.1) Calculons l'intégrale :

\int_{-1}^{0} (- x) d x

⇥ⓘ Une primitive de x^n est x^(n+1)/(n+1), pour n ≠ -1 :

\int (- x) d x

- \frac{x^{2}}{2}

▷

- \frac{x^{2}}{2}

⇥1.2) Évaluons sur l'intervalle

[-1; 0]

- \frac{0^{2}}{2} + \frac{{(-1)}^{2}}{2}

⇥ⓘ Les puissances se calculent avant les multiplications, les additions et les soustractions. Une puissance entière est un produit répété :

{(-1)}^{2}

(-1) \cdot (-1)

1

⇥

0 + \frac{1}{2}

⇥ⓘ Additionner 0 ne change rien :

0 + \frac{1}{2}

\frac{1}{2}

⇥

\frac{1}{2}

L'aire sur

[-1; 0]

vaut

\frac{1}{2}

Sur

[0; 1]

x

est au-dessus de

0

: intégrons

x

⇥1.3) Intégrons :

\int_{0}^{1} x d x

⇥ⓘ Une primitive de x^n est x^(n+1)/(n+1), pour n ≠ -1 :

\int x d x

\frac{x^{2}}{2}

▷

\frac{x^{2}}{2}

⇥1.4) Évaluons sur l'intervalle

[0; 1]

\frac{1^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}

⇥

\frac{1}{2} + 0

⇥ⓘ Additionner 0 ne change rien :

\frac{1}{2} + 0

\frac{1}{2}

⇥

\frac{1}{2}

L'aire sur

[0; 1]

vaut

\frac{1}{2}

⇥

\frac{1}{2} + \frac{1}{2}

⇥ⓘ Pour additionner des fractions, on les met au même dénominateur puis on additionne les numérateurs :

\frac{1}{2} + \frac{1}{2}

\frac{1 + 1}{2}

⇥

\frac{1 + 1}{2}

⇥ⓘ Le numérateur et le dénominateur se calculent avant la division :

1 + 1

2

⇥

\frac{2}{2}

ⓘ On simplifie la fraction en divisant le numérateur et le dénominateur par

2

, leur plus grand diviseur commun :

\frac{2}{2}

1

▶Aire :

1