aire y=12-x^2,y=x^2-6 — solution étape par étape

1) Considérons les deux courbes d'équations

y = 12 - x^{2}

y = x^{2} - 6

Aux intersections,

12 - x^{2}

x^{2} - 6

. Soustrayons la seconde expression à la première :

(12 - x^{2}) - (x^{2} - 6)

= 0, soit

18 - 2 x^{2} = 0

⇥1.1) Résolvons dans

ℝ

18 - 2 x^{2} = 0

⇥ⓘ On divise les deux membres par

-2

⇥

x^{2} = 9

⇥Les deux nombres dont le carré vaut

9

sont

-3

3

⇥Solutions trouvées :

x = {-3; 3}

L'aire entre

12 - x^{2}

x^{2} - 6

sur

[-3; 3]

est l'intégrale de la valeur absolue de leur différence

Aucune intersection intérieure : la différence garde son signe sur l'intervalle

Sur

[-3; 3]

12 - x^{2}

est au-dessus de

x^{2} - 6

: intégrons

18 - 2 x^{2}

⇥1.2) Calculons l'intégrale :

\int_{-3}^{3} (18 - 2 x^{2}) d x

⇥ⅰ

\int (18 - 2 x^{2}) d x

\int 18 d x - \int 2 x^{2} d x

⇥

\int 18 d x - \int 2 x^{2} d x

⇥ⓘ La dérivée de

18 x

est

18

, donc

18 x

est une primitive de

18

\int 18 d x

18 x

■Un facteur constant se garde devant l'intégrale. Une primitive de x^n est x^(n+1)/(n+1), pour n ≠ -1 :

- \int 2 x^{2} d x

- 2 \cdot \frac{x^{3}}{3}

⇥

18 x - 2 \cdot \frac{x^{3}}{3}

⇥ⓘ Multiplier une fraction par un nombre revient à multiplier son numérateur :

2 \cdot \frac{x^{3}}{3}

\frac{2 x^{3}}{3}

▷

18 x - \frac{2 x^{3}}{3}

⇥1.3) Évaluons sur l'intervalle

[-3; 3]

(18 \cdot 3 - \frac{2 \cdot 3^{3}}{3}) - (18 \cdot (-3) - \frac{2 \cdot {(-3)}^{3}}{3})

⇥ⓘ Les multiplications se font avant les additions et les soustractions :

18 \cdot 3

(10 + 8) \cdot 3

10 \cdot 3 + 8 \cdot 3

30 + 24

54

■Les puissances se calculent avant les multiplications, les additions et les soustractions. Une puissance entière est un produit répété :

3^{3}

3 \cdot 3 \cdot 3

27

■Un signe moins devant une parenthèse change le signe de chacun de ses termes :

- (18 \cdot (-3) - \frac{2 \cdot {(-3)}^{3}}{3})

- 18 \cdot (-3) + \frac{2 \cdot {(-3)}^{3}}{3}

⇥

54

- \frac{2 \cdot 27}{3}

- 18 \cdot (-3)

+ \frac{2 \cdot {(-3)}^{3}}{3}

⇥ⓘ Les multiplications se font avant les additions et les soustractions. Deux signes moins s'annulent, le produit de deux nombres négatifs est positif :

-18 \cdot (-3)

18 \cdot 3

(10 + 8) \cdot 3

10 \cdot 3 + 8 \cdot 3

30 + 24

54

■Les puissances se calculent avant les multiplications, les additions et les soustractions. Une puissance entière est un produit répété :

{(-3)}^{3}

(-3) \cdot (-3) \cdot (-3)

-27

⇥ⅰ

2 \cdot 27

2 \cdot (20 + 7)

2 \cdot 20 + 2 \cdot 7

40 + 14

54

⇥

54

- \frac{54}{3}

+ 54

+ \frac{2 \cdot (-27)}{3}

⇥ⓘ On simplifie la fraction en divisant le numérateur et le dénominateur par

3

, leur plus grand diviseur commun :

- \frac{54}{3}

-18

■Un seul signe moins ne s'annule pas, le produit d'un nombre négatif par un nombre positif est négatif :

2 \cdot (-27)

- 2 \cdot 27

- 2 \cdot (20 + 7)

- (2 \cdot 20 + 2 \cdot 7)

- (40 + 14)

-54

⇥

54

- 18

+ 54

- \frac{54}{3}

⇥ⓘ On part de

54

et on recule de

18

sur la droite des nombres :

54 - 18

36

■On simplifie la fraction en divisant le numérateur et le dénominateur par

3

, leur plus grand diviseur commun :

- \frac{54}{3}

-18

⇥

36 + 54 - 18

⇥ⓘ On part de

36

et on avance de

54

sur la droite des nombres :

36 + 54

90

⇥

90 - 18

⇥ⓘ On part de

90

et on recule de

18

sur la droite des nombres :

90 - 18

72

⇥

72

L'aire sur

[-3; 3]

vaut

72

▶Aire :

72