aire y=2x^2,y=2x+6 — solution étape par étape

1) Considérons les deux courbes d'équations

y = 2 x^{2}

y = 2 x + 6

Aux intersections,

2 x^{2}

2 x + 6

. Soustrayons la seconde expression à la première :

2 x^{2} - (2 x + 6)

= 0, soit

2 x^{2} - 2 x - 6 = 0

Résolvons dans

ℝ

2 x^{2} - 2 x - 6 = 0

Comme

2 \neq 0

, on divise les deux membres par

2

x^{2} - x - 3 = 0

Étant donné la forme quadratique

a x^{2} + b x + c

, calculons le discriminant :

Δ = b^{2} - 4 a c

. Ici

a = 1

b = -1

c = -3

Δ = {(-1)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (-3)

ⓘ Les puissances se calculent avant les multiplications, les additions et les soustractions. Une puissance entière est un produit répété :

{(-1)}^{2}

(-1) \cdot (-1)

1

Δ = 1 - 4 \cdot (-3)

ⓘ Les multiplications se font avant les additions et les soustractions. Deux signes moins s'annulent, le produit de deux nombres négatifs est positif :

- 4 \cdot (-3)

12

Δ = 1 + 12

ⓘ On part de

1

et on avance de

12

sur la droite des nombres :

1 + 12

13

Δ = 13

Puisque

Δ > 0

, l'équation admet deux racines :

La formule du second degré donne

x_{1}

\frac{- b - \sqrt{Δ}}{2 a}

\frac{- (-1) - \sqrt{13}}{2 \cdot 1}

x_{1} = \frac{1 - \sqrt{13}}{2}

La formule du second degré donne

x_{2}

\frac{- b + \sqrt{Δ}}{2 a}

\frac{- (-1) + \sqrt{13}}{2 \cdot 1}

x_{2} = \frac{1 + \sqrt{13}}{2}

Solutions trouvées :

x = {\frac{1 - \sqrt{13}}{2}; \frac{1 + \sqrt{13}}{2}}

L'aire entre

2 x^{2}

2 x + 6

sur

[\frac{1 - \sqrt{13}}{2}; \frac{1 + \sqrt{13}}{2}]

est l'intégrale de la valeur absolue de leur différence

Aucune intersection intérieure : la différence garde son signe sur l'intervalle

Sur

[\frac{1 - \sqrt{13}}{2}; \frac{1 + \sqrt{13}}{2}]

2 x + 6

est au-dessus de

2 x^{2}

: intégrons

- 2 x^{2} + 2 x + 6

Entre ses racines

x_{1} = \frac{1 - \sqrt{13}}{2}

x_{2} = \frac{1 + \sqrt{13}}{2}

- 2 x^{2} + 2 x + 6

-2 \cdot (x - x_{1}) \cdot (x - x_{2})

Avec

u = x - x_{1}

d = x_{2} - x_{1}

, l'intégrale de

(x - x_{1}) \cdot (x - x_{2})

x_{1}

x_{2}

est celle de

u \cdot (u - d)

de 0 à

d

\frac{d^{3}}{3} - \frac{d^{3}}{2} = - \frac{d^{3}}{6}

, donc l'aire vaut

\frac{2 d^{3}}{6}

Calculons

d = x_{2} - x_{1}

⇥

\frac{1 + \sqrt{13}}{2} - \frac{1 - \sqrt{13}}{2}

⇥ⓘ Le signe moins de la fraction entre dans le numérateur ou le dénominateur, dont il change le signe de chaque terme :

- \frac{1 - \sqrt{13}}{2}

\frac{- 1 + \sqrt{13}}{2}

⇥

\frac{1 + \sqrt{13}}{2} + \frac{- 1 + \sqrt{13}}{2}

⇥ⓘ Pour additionner des fractions, on les met au même dénominateur puis on additionne les numérateurs :

\frac{1 + \sqrt{13}}{2} + \frac{- 1 + \sqrt{13}}{2}

\frac{(1 + \sqrt{13}) + (- 1 + \sqrt{13})}{2}

⇥

\frac{(1 + \sqrt{13}) + (- 1 + \sqrt{13})}{2}

⇥ⓘ Le numérateur et le dénominateur se calculent avant la division :

1 - 1

0

■On regroupe les termes semblables en additionnant leurs coefficients :

\sqrt{13} + \sqrt{13}

2 \cdot \sqrt{13}

⇥

\frac{0 + 2 \cdot \sqrt{13}}{2}

⇥ⓘ Additionner 0 ne change rien :

0 + 2 \cdot \sqrt{13}

2 \cdot \sqrt{13}

■On simplifie une fraction en divisant le numérateur et le dénominateur par un même nombre :

\frac{2 \cdot \sqrt{13}}{2}

\sqrt{13}

⇥

\sqrt{13}

Donc l'aire vaut

\frac{2 d^{3}}{6}

⇥

\frac{2 \cdot {(\sqrt{13})}^{3}}{6}

⇥ⓘ On simplifie une fraction en divisant le numérateur et le dénominateur par un même nombre :

\frac{2 \cdot {(\sqrt{13})}^{3}}{6}

\frac{{(\sqrt{13})}^{3}}{3}

⇥

\frac{{(\sqrt{13})}^{3}}{3}

⇥ⓘ Une puissance de puissance multiplie les exposants, (a^n)^m = a^(n*m) :

{(\sqrt{13})}^{3}

13^{\frac{1}{2} \cdot 3}

⇥

\frac{13^{\frac{1}{2} \cdot 3}}{3}

⇥ⓘ Multiplier une fraction par un nombre revient à multiplier son numérateur :

\frac{1}{2} \cdot 3

\frac{1 \cdot 3}{2}

\frac{3}{2}

⇥

\frac{13^{\frac{3}{2}}}{3}

⇥ⓘ Les puissances se calculent avant les multiplications, les additions et les soustractions :

13^{\frac{3}{2}}

13 \cdot \sqrt{13}

⇥

\frac{13 \cdot \sqrt{13}}{3}

L'aire sur

[\frac{1 - \sqrt{13}}{2}; \frac{1 + \sqrt{13}}{2}]

vaut

\frac{13 \cdot \sqrt{13}}{3}

▶Aire :

\frac{13 \cdot \sqrt{13}}{3}

2) La valeur numérique de :

\frac{13 \cdot \sqrt{13}}{3}

vaut :

\frac{13 \cdot \approx 3,6056}{3}

\frac{\approx 46,8722}{3}

▷

\approx 15,6241