aire y=6x,y=3x^2 — solution étape par étape

1) Considérons les deux courbes d'équations

y = 6 x

y = 3 x^{2}

Aux intersections,

6 x

3 x^{2}

. Soustrayons la seconde expression à la première :

6 x - 3 x^{2} = 0

⇥1.1) Résolvons dans

ℝ

6 x - 3 x^{2} = 0

⇥On peut factoriser l'expression :

6 x - 3 x^{2}

en :

x \cdot (6 - 3 x)

⇥Un produit est nul si et seulement si l'un de ses facteurs est nul : on résout chaque facteur égal à 0

⇥⇥1.1.1) Résolvons dans

ℝ

x = 0

⇥⇥Solution trouvée :

x = 0

⇥⇥1.1.2) Résolvons dans

ℝ

6 - 3 x = 0

⇥⇥

3 x = 6

⇥⇥ⓘ On divise les deux membres par

3

⇥⇥

x = \frac{6}{3}

⇥⇥ⓘ On simplifie la fraction en divisant le numérateur et le dénominateur par

3

, leur plus grand diviseur commun :

\frac{6}{3}

2

⇥⇥Solution trouvée :

x = 2

L'aire entre

6 x

3 x^{2}

sur

[0; 2]

est l'intégrale de la valeur absolue de leur différence

Aucune intersection intérieure : la différence garde son signe sur l'intervalle

Sur

[0; 2]

6 x

est au-dessus de

3 x^{2}

: intégrons

6 x - 3 x^{2}

⇥1.2) Intégrons :

\int_{0}^{2} (6 x - 3 x^{2}) d x

⇥ⅰ

\int (6 x - 3 x^{2}) d x

\int 6 x d x - \int 3 x^{2} d x

⇥

\int 6 x d x - \int 3 x^{2} d x

⇥ⓘ Un facteur constant se garde devant l'intégrale. Une primitive de x^n est x^(n+1)/(n+1), pour n ≠ -1 :

\int 6 x d x

6 \cdot \frac{x^{2}}{2}

- \int 3 x^{2} d x

- 3 \cdot \frac{x^{3}}{3}

⇥

6 \cdot \frac{x^{2}}{2} - 3 \cdot \frac{x^{3}}{3}

⇥ⓘ Multiplier une fraction par un nombre revient à multiplier son numérateur :

6 \cdot \frac{x^{2}}{2}

\frac{6 x^{2}}{2}

3 \cdot \frac{x^{3}}{3}

\frac{3 x^{3}}{3}

■On simplifie une fraction en divisant le numérateur et le dénominateur par un même nombre :

\frac{6 x^{2}}{2}

3 x^{2}

- \frac{3 x^{3}}{3}

- x^{3}

⇥

3 x^{2} - x^{3}

⇥L'expression peut être factorisée en :

x^{2} \cdot (3 - x)

▷

x^{2} \cdot (3 - x)

⇥1.3) Évaluons sur l'intervalle

[0; 2]

2^{2} \cdot (3 - 2) - 0^{2} \cdot (3 + 0)

⇥ⓘ Les puissances se calculent avant les multiplications, les additions et les soustractions. Une puissance entière est un produit répété :

2^{2}

2 \cdot 2

4

■Les parenthèses se calculent en premier :

3 - 2

1

■Multiplier par 1 ne change rien :

4 \cdot 1

4

■Additionner 0 ne change rien :

3 + 0

3

■Un produit dont un facteur est nul est nul :

0 \cdot 3

0

⇥

4 + 0

⇥ⓘ Additionner 0 ne change rien :

4 + 0

4

⇥

4

L'aire sur

[0; 2]

vaut

4

▶Aire :

4